《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

24. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数;65°
(2)过点D作DF//BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.25°

答案：
(1) $\because$ 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，$\therefore\angle ABC = 90^{\circ} - \angle A = 50^{\circ}$，$\therefore\angle CBD = 130^{\circ}$。$\because BE$ 是 $\angle CBD$ 的平分线，$\therefore\angle CBE = \frac{1}{2}\angle CBD = 65^{\circ}$。
(2) $\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CBE = 65^{\circ}$，$\therefore\angle CEB = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$。$\because DF// BE$，$\therefore\angle F = \angle CEB = 25^{\circ}$。

25. 如图,点C,D分别在∠AOB的OA,OB边上运动(不与点O重合).射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO的内部,反向延长CE,与DF交于点F.
(1)若∠AOB=90°,CE,DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线,猜想∠CFD的度数是否随点C,D的运动发生变化,并说明理由;
∠CFD的度数不随点C，D的运动发生变化。理由：∵∠ACD是△OCD的外角，∴∠ACD-∠CDO=∠AOB。∵CE，DF分别是∠ACD，∠CDO的平分线，∴∠ECD=1/2∠ACD，∠CDF=1/2∠CDO。∵∠ECD是△CDF的外角，∴∠CFD=∠ECD-∠CDF=1/2∠ACD-1/2∠CDO=1/2(∠ACD-∠CDO)=1/2∠AOB=45°。∴∠CFD的度数不随点C，D的运动发生变化。
(2)若∠AOB=α(0°＜α＜180°),∠ECD=1/n∠ACD,∠CDF=1/n∠CDO,求∠CFD的度数(用含α,n的式子表示).
∵∠ACD是△OCD的外角，∴∠ACD-∠CDO=∠AOB。∵∠ECD=1/n∠ACD，∠CDF=1/n∠CDO，且∠ECD是△CDF的外角，∴∠CFD=∠ECD-∠CDF=1/n∠ACD-1/n∠CDO=1/n(∠ACD-∠CDO)=1/n∠AOB=α/n。

答案：
(1) $\angle CFD$ 的度数不随点 $C$，$D$ 的运动发生变化。理由：$\because\angle ACD$ 是 $\triangle OCD$ 的外角，$\therefore\angle ACD - \angle CDO = \angle AOB$。$\because CE$，$DF$ 分别是 $\angle ACD$，$\angle CDO$ 的平分线，$\therefore\angle ECD = \frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle CDF = \frac{1}{2}\angle CDO$。$\because\angle ECD$ 是 $\triangle CDF$ 的外角，$\therefore\angle CFD = \angle ECD - \angle CDF = \frac{1}{2}\angle ACD - \frac{1}{2}\angle CDO = \frac{1}{2}(\angle ACD - \angle CDO) = \frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$。$\therefore\angle CFD$ 的度数不随点 $C$，$D$ 的运动发生变化。
(2) $\because\angle ACD$ 是 $\triangle OCD$ 的外角，$\therefore\angle ACD - \angle CDO = \angle AOB$。$\because\angle ECD = \frac{1}{n}\angle ACD$，$\angle CDF = \frac{1}{n}\angle CDO$，且 $\angle ECD$ 是 $\triangle CDF$ 的外角，$\therefore\angle CFD = \angle ECD - \angle CDF = \frac{1}{n}\angle ACD - \frac{1}{n}\angle CDO = \frac{1}{n}(\angle ACD - \angle CDO) = \frac{1}{n}\angle AOB = \frac{\alpha}{n}$。