《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

例1 将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含$30^{\circ}$角的三角板的一条直角边和含$45^{\circ}$角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则$∠α$的度数是 …………………………… ( )

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$85^{\circ}$

答案：
分析:如图,先根据三角形的内角和得出$∠CGF = ∠DGB = 45^{\circ}$,再利用$∠α = ∠D + ∠DGB$可得答案.
答案:C
反思:在求解三角形有关角的度数时,灵活运用三角形内角和定理与三角形外角性质进行推理与计算.

例2 如图所示,已知$BD$为$△ABC$的角平分线,$CD$为$△ABC$外角$∠ACE$的平分线,且与$BD$交于点$D$,求$∠A$与$∠D$的关系.

解：$∠A$与$∠D$的关系为$∠A = 2∠D$.理由：$\because BD$是$∠ABC$的平分线,$\therefore ∠ABC = 2∠DBC$，$\because CD$是$∠ACE$的平分线,$\therefore ∠ACE = 2∠DCE$，$\because ∠DCE$是$△BCD$的外角,$\therefore ∠D = ∠DCE - ∠DBE$，$\because ∠ACE$是$△ABC$的外角,$∠A = ∠ACE - ∠ABC = 2∠DCE - 2∠DBE = 2(∠DCE - ∠DBE) = 2∠D$.

答案：

分析:根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出$∠A$与$∠D$,从而不难发现两者的数量关系,进一步得出答案即可.

答案:$∠A = 2∠D$.理由:$\because BD$是$∠ABC$的平分线,$\therefore ∠ABC = 2∠DBC$,

$\because CD$是$∠ACE$的平分线,$\therefore ∠ACE = 2∠DCE$,

$\because ∠DCE$是$△BCD$的外角,$\therefore ∠D = ∠DCE - ∠DBE$,

$\because ∠ACE$是$△ABC$的外角,$∠A = ∠ACE - ∠ABC = 2∠DCE - 2∠DBE = 2(∠DCE - ∠DBE) = 2∠D$.

反思:解决本题的关键是三角形外角的性质.在三角形中求一个角的度数时,有时不只局限于三角形的内外角的关系和性质,常结合角平分线,利用补角,余角,对顶角等角的关系及角的和差进行计算.