《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

20. 今年，市政府的一项实事工程就是由政府投入 1000 万元资金对城区 4 万户家庭的老式水龙头和 13 升抽水马桶进行免费改造. 某社区为配合政府完成该项工作，对社区内 1200 户家庭中的 120 户进行了随机抽样调查，并汇总成下表：
|改造情况|均不改造|改造水龙头|改造马桶|
|----|----|----|----|
| | |1 个|2 个|3 个|4 个|1 个|2 个|
|户数|20|31|28|21|12|69|2|
（1）试估计该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有______1000户；
（2）改造后，一个水龙头一年大约可节省 5 吨水，一个马桶一年大约可节省 15 吨水. 试估计该社区一年共可节约多少吨自来水？
抽样的120户家庭一年共可节约用水的吨数为：$(1 × 31 + 2 × 28 + 3 × 21 + 4 × 12) × 5 + (1 × 69 + 2 × 2) × 15 = 198 × 5 + 73 × 15 = 2085$ (吨). 所以，该社区一年共可节约用水的吨数为 $2085 × \frac{1200}{120} = 20850$ (吨).
（3）在抽样的 120 户家庭中，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多少户？
设既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有 $x$ 户，则只改造水龙头不改造马桶的家庭共有 $(92 - x)$ 户，只改造马桶不改造水龙头的家庭共有 $(71 - x)$ 户，根据题意列方程，得 $x + (92 - x) + (71 - x) = 100$，解得 $x = 63$. 所以，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有63户. 也可以从另一角度考虑，从表中数据可以看出，在这120户中，改造水龙头和改造马桶的户数之和为 $31 + 28 + 21 + 12 + 69 + 2 = 163$ (户). 由于只有100户需要对水龙头、马桶进行改造，所以多出的就是既要改造水龙头又要改造马桶的家庭. 因此，此类家庭的户数为 $163 - 100 = 63$ (户).

答案：
(1)1000
(2)抽样的120户家庭一年共可节约用水的吨数为：$(1 \times 31 + 2 \times 28 + 3 \times 21 + 4 \times 12) \times 5 + (1 \times 69 + 2 \times 2) \times 15 = 198 \times 5 + 73 \times 15 = 2085$ (吨). 所以，该社区一年共可节约用水的吨数为 $2085 \times \frac{1200}{120} = 20850$ (吨).
(3)设既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有 $x$ 户，则只改造水龙头不改造马桶的家庭共有 $(92 - x)$ 户，只改造马桶不改造水龙头的家庭共有 $(71 - x)$ 户，根据题意列方程，得 $x + (92 - x) + (71 - x) = 100$，解得 $x = 63$. 所以，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有63户. 也可以从另一角度考虑，从表中数据可以看出，在这120户中，改造水龙头和改造马桶的户数之和为 $31 + 28 + 21 + 12 + 69 + 2 = 163$ (户). 由于只有100户需要对水龙头、马桶进行改造，所以多出的就是既要改造水龙头又要改造马桶的家庭. 因此，此类家庭的户数为 $163 - 100 = 63$ (户).