《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

20. 小学时，我们已学过三角形三个内角的和为 $ 180^{\circ} $.
定义：如果一个三角形的两个内角 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 满足 $ 2\alpha + \beta = 90^{\circ} $，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若三角形 $ ABC $ 是“准互余三角形”，$ ∠C ＞ 90^{\circ} $，$ ∠A = 60^{\circ} $，则 $ ∠B $ 的度数是______15°；
（2）若三角形 $ ABC $ 是直角三角形，$ ∠ACB = 90^{\circ} $.如图，若 $ AD $ 是 $ ∠BAC $ 的平分线，请你判断三角形 $ ABD $ 是否为“准互余三角形”？并说明理由.

三角形 $ ABD $ 是“准互余三角形”，理由如下：$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore \angle BAC = 2\angle BAD = 2\angle DAC$。$\because \angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAC + \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore 2\angle BAD + \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore$ 三角形 $ ABD $ 是“准互余三角形”。

答案： 20.
(1)$15^{\circ}$
(2)三角形 $ABD$ 是“准互余三角形”，理由如下：$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore \angle BAC = 2\angle BAD = 2\angle DAC$。$\because \angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAC + \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore 2\angle BAD + \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore$ 三角形 $ABD$ 是“准互余三角形”。

21. （1）已知如图，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，线段 $ AC = 10 $，$ BC = 6 $，点 $ M $，$ N $ 分别是 $ AC $，$ BC $ 的中点，求 $ MN $ 的长度；8
（2）根据（1）的计算过程与结果，设 $ AC + BC = a $，其他条件不变，你能猜想出 $ MN $ 的长度吗？$MN=\frac{1}{2}a$请用一句简洁的语言表达你发现的规律；若点$C$在线段$AB$上，点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$
（3）若把（1）中的“点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上”改为“点 $ C $ 在直线 $ AB $ 上”，结论又如何？当点$C$在线段$AB$上时，$MN=8$；当点$C$在线段$AB$的延长线上时，$MN=2$请说明理由.①当C在A和B中间时，根据(1)中的结论可得MN=8②当C在A点左边时，此时CM=5，CN=3，MN=CM-CN=5-3=2③当C在B的右边时，此时CM=5，CN=3，MN=CM-CN=5-3=2

答案： 21.
(1)因为点 $M$，$N$ 分别是 $AC$，$BC$ 的中点，所以 $MC = \frac{1}{2}AC$，$CN = \frac{1}{2}BC$，$MN = MC + CN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = 8$。
(2)$MN = \frac{1}{2}a$。若点 $C$ 在线段 $AB$ 上，点 $M$，$N$ 分别是 $AC$，$BC$ 的中点，则 $MN = \frac{1}{2}AB$。
(3)当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时，$MN = 8$；当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时，$MN = 2$。
理由：①当C在A和B中间时，根据
(1)中的结论可得MN=8
②当C在A点左边时，此时CM=5，CN=3，MN=CM-CN=5-3=2
③当C在B的右边时，此时CM=5，CN=3，MN=CM-CN=5-3=2

22. 如图，点 $ O $ 是直线 $ AB $ 上一点，射线 $ OA_1 $，$ OA_2 $ 均从 $ OA $ 的位置开始绕点 $ O $ 顺时针旋转，$ OA_1 $ 旋转的速度为每秒 $ 30^{\circ} $，$ OA_2 $ 旋转的速度为每秒 $ 10^{\circ} $.当 $ OA_2 $ 旋转 6 秒后，$ OA_1 $ 也开始旋转，当其中一条射线与 $ OB $ 重合时，另一条也停止.设 $ OA_1 $ 旋转的时间为 $ t $ 秒.
（1）用含有 $ t $ 的式子表示 $ ∠A_1OA = $$30t$$ ^{\circ} $，$ ∠A_2OA = $$10(t + 6)$$ ^{\circ} $；
（2）当 $ t = $1.2秒时，$ OA_1 $ 是 $ ∠A_2OA $ 的角平分线；
（3）若 $ ∠A_1OA_2 = 30^{\circ} $ 时，求 $ t $ 的值.
①当 $OA_1$ 在 $\angle AOA_2$ 的内部时，$10(t + 6) - 30t = 30$，解得 $t = $1.5；②当 $OA_1$ 在 $\angle AOA_2$ 的外部时，$30t - 10(t + 6) = 30$，解得 $t = $4.5。所以 $t = $1.5或4.5。

答案： 22.
(1)$(30t)$ $10(t + 6)$
(2)1.2
(3)①当 $OA_1$ 在 $\angle AOA_2$ 的内部时，$10(t + 6) - 30t = 30$，解得 $t = 1.5$；②当 $OA_1$ 在 $\angle AOA_2$ 的外部时，$30t - 10(t + 6) = 30$，解得 $t = 4.5$。所以 $t = 1.5$ 或 $4.5$。