《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

19. 如图，将面积为$a^{2}$的小正方形和面积为$b^{2}$的大正方形放在同一水平面上$(b＞a＞0)$.
（1）用a，b表示阴影部分的面积；$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab$
（2）计算当$a=3,b=5$时，阴影部分的面积.$\frac{49}{2}$

答案：
(1) 阴影部分的面积为 $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab$。
(2) 当 $a = 3$，$b = 5$ 时，$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×25 + \frac{1}{2}×9 + \frac{1}{2}×3×5 = \frac{49}{2}$，即阴影部分的面积为 $\frac{49}{2}$。

20. 定义：若$a+b=2$，则称a与b是关于1的平衡数.
（1）3与$-1$是关于1的平衡数，$5-x$与$x - 3$是关于1的平衡数；（用含x的代数式表示）
（2）若$a=2x^{2}-3(x^{2}+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x^{2})+2]$，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由.

答案：
(1) $-1$ $x - 3$
(2) $a = 2x^2 - 3(x^2 + x) + 4 = -x^2 - 3x + 4$，$b = 2x - [3x - (4x + x^2) + 2] = 2x - 3x + 4x + x^2 - 2 = x^2 + 3x - 2$，$a + b = -x^2 - 3x + 4 + x^2 + 3x - 2 = 2$。故 $a$ 与 $b$ 是关于 $1$ 的平衡数。

21. 如下数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是$(n - 1)^2 + 1$，最后一个数是$n^2$，第n行共有(2n - 1)个数；
（3）求第n行各数之和（用含n的式子表示，不要求计算）.$(2n - 1)(n^2 - n + 1)$

答案：
(1) $64$ $8$ $15$
(2) $(n - 1)^2 + 1$ $n^2$ $(2n - 1)$
(3) $(2n - 1)(n^2 - n + 1)$