《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

6. 如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC。求证：△ABC≌△DEC。
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE。在△ABC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l} CA=CD,\\ ∠ACB=∠DCE,\\ BC=EC,\end{array}\right.$∴△ABC≌△DEC(SAS)。

答案： 证明：$\because ∠1=∠2,\therefore ∠1+∠ECA=∠2+∠ECA$，即$∠ACB=∠DCE$. 在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\left\{\begin{array}{l} CA=CD,\\ ∠ACB=∠DCE,\\ BC=EC,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle ABC\cong \triangle DEC(SAS)$.

7. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE，求证：BC=BE。

证明：∵DE// AC,∴∠CAB=∠BDE. 在△ABC与△DEB中，$\left\{\begin{array}{l} CA=BD,\\ ∠CAB=∠BDE,\\ AB=DE,\end{array}\right.$ ∴△ABC≌△DEB(SAS),∴BC=BE.

答案： $\because DE// AC,\therefore ∠CAB=∠BDE$. 在$\triangle ABC$与$\triangle DEB$中，$\left\{\begin{array}{l} CA=BD,\\ ∠CAB=∠BDE,\\ AB=DE,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle ABC\cong \triangle DEB(SAS),\therefore BC=BE$.

8. 如图1，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE。
(1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
(2)若将CD沿CB方向平移得到图2，3，4，5的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？请任选一个说明理由。
(1)AC⊥CE. 理由：∵AB⊥BD,ED⊥BD,∠B=∠D=90°. 在△ABC和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠B=∠D,\\ BC=DE,\end{array}\right.$ ∴△ABC≌△CDE(SAS).∴∠A=∠DCE.∵∠A+∠ACB=90°,∴∠DCE+∠ACB=90°.∴∠ACE=90°，即AC⊥CE. (2)成立. 以题图2为例说明理由：∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠B=∠D=90°. 在△ABC₁和△C₂DE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=C₂D,\\ ∠B=∠D,\\ BC₁=DE,\end{array}\right.$ ∴△ABC₁≌△C₂DE(SAS).∴∠A=∠EC₂D.∵∠A+∠AC₁B=90°,∴∠EC₂D+∠AC₁B=90°,∠C₁MC₂=90°，即AC₁⊥C₂E. (也可以以图3,4,5为例说明理由)

答案：
(1)$AC⊥CE$. 理由：$\because AB⊥BD,ED⊥BD,∠B=∠D=90^{\circ }$. 在$\triangle ABC$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠B=∠D,\\ BC=DE,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle ABC\cong \triangle CDE(SAS).\therefore ∠A=∠DCE.\because ∠A+∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠DCE+∠ACB=90^{\circ }.\therefore ∠ACE=90^{\circ }$，即$AC⊥CE$.
(2)成立. 以题图 2 为例说明理由：$\because AB⊥BD,ED⊥BD,\therefore ∠B=∠D=90^{\circ }$. 在$\triangle ABC_{1}$和$\triangle C_{2}DE$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=C_{2}D,\\ ∠B=∠D,\\ BC_{1}=DE,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle ABC_{1}\cong \triangle C_{2}DE(SAS).\therefore ∠A=∠EC_{2}D.\because ∠A+∠AC_{1}B=90^{\circ },\therefore ∠EC_{2}D+∠AC_{1}B=90^{\circ },∠C_{1}MC_{2}=90^{\circ }$，即$AC_{1}⊥C_{2}E$. (也可以以图 3,4,5 为例说明理由)