《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

11. 如图，在 $ \triangle A B C $ 中，$ \angle B A C = 60 ^ { \circ } $，$ \angle C = 2 \angle B $，$ A D $ 是 $ \triangle A B C $ 的角平分线，点 $ E $ 是边 $ A C $ 上一点，且 $ \angle A D E = \frac { 1 } { 2 } \angle B $，求 $ \angle C D E $ 的度数。

$ \angle CDE = $$50^{\circ}$。

答案： $\angle CDE = 50^{\circ}$。

12. 如图，有一块直角三角板 $ X Y Z $ 放置在 $ \triangle A B C $ 中，三角板的两直角边 $ X Y $ 和 $ X Z $ 恰好分别经过 $ B $，$ C $ 点，若 $ \angle A = 30 ^ { \circ } $，则 $ \angle A B X + \angle A C X $ 的大小是$60^{\circ}$？若改变三角板的位置，但仍使点 $ B $，$ C $ 在三角板的边 $ X Y $ 和边 $ X Z $ 上，点 $ X $ 在 $ \triangle A B C $ 内部，此时 $ \angle A B X + \angle A C X $ 的大小有变化吗？请你说明理由。

答案： $\angle ABX + \angle ACX = 60^{\circ}$。改变位置$\angle ABX + \angle ACX$没有变化。理由如下：$\because \angle XBC + \angle XCB = 90^{\circ}$，且$\angle A = 30^{\circ}$，$\therefore$由$\triangle ABC$内角和为$180^{\circ}$，得$\angle ABX + \angle ACX = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$。即$\angle ABX + \angle ACX$的大小没有变化。

13. 如图所示，在 $ \triangle A B C $ 中，$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ C D \perp A B $ 于点 $ D $。
(1) 求证：$ \angle A C D = \angle B $；
$\because CD \perp AB$，$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle B + \angle BCD = 90^{\circ}$。又$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle ACD + \angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACD = \angle B$。
(2) 若 $ A F $ 平分 $ \angle C A B $ 分别交 $ C D $，$ B C $ 于点 $ E $，$ F $。求证：$ \angle C E F = \angle C F E $。
$\because AE$平分$\angle CAB$，$\therefore \angle CAE = \angle FAB$。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CAF + \angle CFE = 90^{\circ}$。$\because CD \perp AB$，$\therefore \angle CDA = 90^{\circ}$，$\angle FAB + \angle AED = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AED = \angle CFA$。又$\because \angle AED = \angle CEF$，$\therefore \angle CEF = \angle CFE$。

答案：
(1) $\because CD \perp AB$，$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle B + \angle BCD = 90^{\circ}$。又$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle ACD + \angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACD = \angle B$。
(2) $\because AE$平分$\angle CAB$，$\therefore \angle CAE = \angle FAB$。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CAF + \angle CFE = 90^{\circ}$。$\because CD \perp AB$，$\therefore \angle CDA = 90^{\circ}$，$\angle FAB + \angle AED = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AED = \angle CFA$。又$\because \angle AED = \angle CEF$，$\therefore \angle CEF = \angle CFE$。