《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

例2 如图，已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，且∠CAB=90°，试求：
(1)AE的长；$\frac{12}{5}$cm
(2)△ABD的面积；3cm²
(3)△ABD，△ACD周长之差。1cm

答案：

分析：利用等积变形求高，中线平分面积求面积，把周长之差转化为已知边的差。

答案：
(1)
∵AE是高，
∴AE⊥BC。又
∵∠CAB=90°，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}AE·BC$，即5AE=3×4，
∴AE=$\frac{12}{5}$cm。

(2)
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·AE$，

又
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，

∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3×4=3cm²$。

(3)
∵AD为BC边上的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+BD+AD)-(AD+CD+AC)=AB-AC=1cm。

反思：解决本题关键是掌握三角形的中线、高的意义及面积公式。同时要掌握等(同)底等(同)高的三角形面积相等；三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，以及等积变形的方法。

1. 下列说法中，正确的是 …………………………………………………… (D)
A. 三角形的角平分线是射线
B. 三角形的高总在三角形的内部
C. 三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段
D. 三角形的中线在三角形的内部

答案： D

2. 在△ABC中，正确画出AC边上高的是 …………………………………… (C)

答案： C