《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

17. 如图，在平面直角坐标系中，$ A ( - 1, 0 ) $，$ B ( 3, 0 ) $，$ C ( 0, 2 ) $. 若点 $ P $ 从点 $ B $ 出发沿射线 $ BA $ 的方向匀速移动，速度为 1 个单位长度/秒，设移动时间为 $ t $ 秒，当 $ t $ 为何值时，三角形 $ PAC $ 的面积等于三角形 $ BOC $ 的面积？

1或7

答案： 由题意，$\frac {1}{2}AP\cdot OC=\frac {1}{2}OB\cdot OC,\therefore AP=OB=3$，当点 P 在点 A 的右边时，$AP=3$，则$BP=1,\therefore t=1$；当点 P 在点 A 的左边时，$AP=3$，则$BP=7,\therefore t=7$；综上所述，当 t 为 1 或 7 时，三角形 PAC 的面积等于三角形 BOC 的面积.

18. 如图所示，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 坐标为 $ ( 0, m + 4 ) $，点 $ B $ 坐标为 $ ( m + 3, m ) $，且 $ m $ 是方程 $ \frac { 3 m + 9 } { 2 } + 2 m = 1 $ 的解.
(1)请分别求出 $ A $，$ B $ 两点的坐标；
点 A 坐标为(0,3)，点 B 坐标为(2,-1).
(2)点 $ C $ 在第一象限，$ AC // x $ 轴，将线段 $ AB $ 进行适当的平移得到线段 $ DC $，点 $ A $ 的对应点为点 $ D $，点 $ B $ 的对应点为点 $ C $，连接 $ AD $. 若 $ \triangle ACD $ 的面积为 12，求线段 $ AC $ 的长；
线段 $ AC $ 的长为6.
(3)在(2)的条件下，连接 $ OD $，$ P $ 为 $ y $ 轴上一个动点，若使 $ \triangle PAB $ 的面积等于 $ \triangle AOD $ 的面积，求此时点 $ P $ 的坐标.
点 $ P $ 的坐标为(0,-3)或(0,9).

答案：
(1)解方程$\frac {3m+9}{2}+2m=1$得$m=-1.\therefore $点 A 坐标为$(0,3)$，点 B 坐标为$(2,-1)$.
(2)$\because AC// x$轴，$\therefore $点 C 的纵坐标为 3.$\because $点 B 的对应点为点 C，且$B(2,-1).\therefore $点 B 向上平移了 4 个单位长度.$\therefore $点 A 向上平移了 4 个单位长度.$\therefore $点 D 到 AC 的距离为 4.$\because S_{△ACD}=\frac {1}{2}×4×AC=12,\therefore AC=6$.
(3)$\because AC=6,AC// x$轴，$\therefore $点 C 坐标为$(6,3).\therefore $点 B 向上平移 4 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度得到点 C；点 A 先向上平移 4 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度得到点 D，即$D(4,7).\therefore S_{△ABD}=\frac {1}{2}×3×4=6$. 设点 P 坐标为$(0,t)$，则$\frac {1}{2}\cdot |t-3|\cdot 2=6$，解得$t=-3$或$t=9.\therefore $点 P 的坐标为$(0,-3)$或$(0,9).$