《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

23. 如图(1),在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为$D$,$AF平分\angle CAB$,交$CD于点E$,交$CB于点F$.
(1)求证：$CE = CF$；
(2)将图(1)中的$\triangle ADE沿AB向右平移到\triangle A'D'E'$的位置,使点$E'落在BC$边上,其他条件不变,如图(2)所示,试猜：$BE'与CF$有怎样的数量关系？请证明你的结论.

答案：
(1)
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠EAD.
　
∵∠ACB=90°,
∴∠CAF+∠CFA=90°.
　　又CD⊥AB,
∴∠EAD+∠AED=90°.
　
∴∠CFA=∠AED.
∵∠AED=∠CEF,
　
∴∠CFA=∠CEF.
∴CE=CF.
(2)BE'=CF.证明如下:
　　过点E作EG⊥AC于点G,
　
∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,
∴ED=EG.
　　由平移的性质,可知D'E'=DE,
　
∴E'D'=EG.
∵∠ACB=90°,
　
∴∠ACD+∠DCB=90°.
　
∵CD⊥AB,
∴∠B+∠DCB=90°.
　
∴∠ACD=∠B.
　　在Rt△CEG与Rt△BE'D'中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GCE=∠B,\\ ∠CGE=∠BD'E',\\ GE=D'E',\end{array}\right. $
　
∴Rt△CEG≌Rt△BE'D'(AAS).
　
∴CE=BE'.
　　由
(1)可知CE=CF,
∴BE'=CF.

24. 中考新考法 证明代数结论 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,直线$MN经过点C$,且$AD\perp MN于点D$,$BE\perp MN于点E$.
(1)当直线$MN绕点C$旋转到图(1)的位置时,求证：
①$\triangle ADC\cong\triangle CEB$；
②$DE = AD + BE$.
(2)当直线$MN绕点C$旋转到图(2)的位置时,求证：$DE = AD - BE$.
(3)当直线$MN绕点C$旋转到图(3)的位置时,试问$DE$,$AD$,$BE$具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,加以证明.

答案： $(1)$ 证明：
① 证明$\triangle ADC\cong\triangle CEB$
解：
$\because AD\perp MN$，$BE\perp MN$，
$\therefore\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$。
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ACD+\angle BCE=180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$。
又$\because\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中，
$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle CEB(AAS)$。
② 证明$DE = AD + BE$
解：
$\because\triangle ADC\cong\triangle CEB$，
$\therefore AD = CE$，$CD = BE$。
$\because DE=CD + CE$，
$\therefore DE=AD + BE$。
$(2)$ 证明$DE = AD - BE$
解：
$\because AD\perp MN$，$BE\perp MN$，
$\therefore\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$。
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ACD+\angle BCE=180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$。
又$\because\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中，
$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle CEB(AAS)$。
$\therefore AD = CE$，$CD = BE$。
$\because DE=CE - CD$，
$\therefore DE=AD - BE$。
$(3)$ 写出等量关系并证明
解：
等量关系为$DE = BE - AD$。
证明：
$\because AD\perp MN$，$BE\perp MN$，
$\therefore\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$。
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ACD+\angle BCE=180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$。
又$\because\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中，
$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{cases}$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle CEB(AAS)$。
$\therefore AD = CE$，$CD = BE$。
$\because DE=CD - CE$，
$\therefore DE=BE - AD$。
综上，$(1)$ ① 可证$\triangle ADC\cong\triangle CEB(AAS)$；② 可证$DE = AD + BE$；$(2)$ 可证$DE = AD - BE$；$(3)$ $DE = BE - AD$。