《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

7. 射击时,子弹射出枪口时的速度可用公式$v= \sqrt{2as}$进行计算,其中a为子弹的加速度,s为枪筒的长. 如果$a= 5×10^{5}m/s^{2},s= 0.64m$,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为(D).
A.$0.4×10^{3}m/s$
B.$0.8×10^{3}m/s$
C.$4×10^{2}m/s$
D.$8×10^{2}m/s$

答案： D

8. 据研究,高空抛物下落的时间t(单位:s)加高度h(单位:m)近似满足公式$t= \sqrt{\frac{h}{5}}$(不考虑风速的影响).
(1)求从40m高空抛物到落地时间;
(2)已知高空坠物动能w(单位:J)$=10×$物体质量(单位:kg)×高度(单位:m),某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上,这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗? 请说明理由. (注:伤害无防护人体只需要65J的动能)

答案：
(1)由题意知$h=40m,$$\therefore t=\sqrt {\frac {40}{5}}=\sqrt {8}=2\sqrt {2}(s).$故从40m高空抛物到落地时间为$2\sqrt {2}s.$
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下:当$t=4s$时,$4=\sqrt {\frac {h}{5}},\therefore h=80m.$这个玩具产生的动能$=10×0.1×80=80(J)＞65J,$
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.

9. 如图,已知直线a:$y= x$,直线b:$y= -\frac{1}{2}x和点P(1,0)$,过点P作y轴的平行线交直线a于点$P_{1}$,过点$P_{1}$作x轴的平行线交直线b于点$P_{2}$,过点$P_{2}$作y轴的平行线交直线a于点$P_{3}$,过点$P_{3}$作x轴的平行线交直线b于点$P_{4}$,…,按此作法进行下去,则点$P_{2024}$的横坐标为____$2^{1012}$.

答案： $2^{1012}$[解析]
∵点$P(1,0)$,点$P_{1}$在直线$y=x$上,
∴点$P_{1}(1,1).\because P_{1}P_{2}// x$轴,
∴点$P_{2}$的纵坐标=点$P_{1}$的纵坐标=1.
∵点$P_{2}$在直线$y=-\frac {1}{2}x$上,$\therefore 1=-\frac {1}{2}x,$$\therefore x=-2.$
∴点$P_{2}(-2,1)$,即点$P_{2}$的横坐标为$-2=-2^{1}.$同理,点$P_{3}$的横坐标为$-2=-2^{1}$,点$P_{4}$的横坐标为$4=2^{2}$,点$P_{5}$的横坐标为$2^{2}$,点$P_{6}$的横坐标为$-2^{3}$,点$P_{7}$的横坐标为$-2^{3}$,点$P_{8}$的横坐标为$2^{4},... ,$
∴点$P_{4n}$的横坐标为$2^{2n}.$
∵$2024÷4=506$,
∴点$P_{2024}$的横坐标为$2^{2×506}=2^{1012}.$

10. 定义:对于一次函数$y_{1}= ax+b,y_{2}= cx+d$,我们称函数$y= m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y_{1},y_{2}$的“组合函数”.
(1)若$m= 3,n= 1$,试判断函数$y= 5x+2是否为函数y_{1}= x+1,y_{2}= 2x-1$的“组合函数”,并说明理由.
(2)设函数$y_{1}= x-p-2与y_{2}= -x+3p$的图象相交于点P.
①若$m+n＞1$,点P在函数$y_{1},y_{2}$的“组合函数”图象的上方,求p的取值范围;
②若$p≠1$,函数$y_{1},y_{2}$的“组合函数”图象经过点P. 是否存在大小确定的m值,对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变? 若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)函数$y=5x+2$是函数$y_{1}=x+1,y_{2}=2x-1$的“组合函数”.理由如下：$\because 3(x+1)+(2x-1)=3x+3+2x-1=5x+2,$$\therefore y=5x+2=3(x+1)+(2x-1),$
∴函数$y=5x+2$是函数$y_{1}=x+1,y_{2}=2x-1$的“组合函数”.
(2)①由$\left\{\begin{array}{l} y=x-p-2,\\ y=-x+3p\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} x=2p+1,\\ y=p-1,\end{array}\right. $$\therefore P(2p+1,p-1).$
∵函数$y_{1},y_{2}$的“组合函数”为$y=m(x-p-2)+n(-x+3p),$
∴当$x=2p+1$时,$y=m(2p+1-p-2)+n(-2p-1+3p)=(p-1)(m+n).$
∵点P在函数$y_{1},y_{2}$的“组合函数”图象的上方，$\therefore p-1＞(p-1)(m+n),$$\therefore (p-1)(1-m-n)＞0.$$\because m+n＞1,\therefore 1-m-n＜0,$$\therefore p-1＜0,\therefore p＜1.$ ②存在$m=\frac {3}{4}$时,对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变,$Q(3,0)$.理由如下:由①知,$P(2p+1,p-1),$
∵函数$y_{1},y_{2}$的“组合函数”$y=m(x-p-2)+n(-x+3p)$图象经过点P,$\therefore p-1=m(2p+1-p-2)+n(-2p-1+3p),$$\therefore (p-1)(1-m-n)=0.$$\because p≠1,\therefore 1-m-n=0$,有$n=1-m,$$\therefore y=m(x-p-2)+n(-x+3p)=m(x-p-2)+(1-m)(-x+3p)=(2m-1)x+3p-(4p+2)m,$令$y=0$,得$(2m-1)x+3p-(4p+2)m=0$,变形整理,得$(3-4m)p+(2m-1)x-2m=0,$
∴当$3-4m=0$,即$m=\frac {3}{4}$时,$\frac {1}{2}x-\frac {3}{2}=0,$$\therefore x=3,\therefore m=\frac {3}{4}$时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变,$Q(3,0).$