《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

17. 定义运算“@”的运算法则为：$x@y= \sqrt {xy+4}$,则$(2@6)@8= $6。

答案： 6

18. 将两条邻边长分别为$\sqrt {2}$,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无剩余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的____(填序号)。
①$\sqrt {2}$；②1；③$\sqrt {2}-1$；④$\frac {\sqrt {3}}{2}$；⑤$\sqrt {3}$。

答案：
①②③④　[解析]本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，根据题意作出图形是解题的关键.　　　 　　　　　

19. 计算：
(1)$-\sqrt {12}×\sqrt {6}$；
(2)$\sqrt {3x}×\sqrt {6y}$；
(3)$5\sqrt {45}×\frac {3}{2}\sqrt {\frac {2}{3}}$；
(4)$\sqrt {2}×\sqrt {5}÷\sqrt {50}$；
(5)$(\sqrt {5}-1)^{2}-(3\sqrt {2}-2\sqrt {3})(3\sqrt {2}+2\sqrt {3})$。

答案：
(1)−$\sqrt{12}$×$\sqrt{6}$=−$\sqrt{12×6}$=−$\sqrt{6^{2}×2}$=−6$\sqrt{2}$.　　
(2)$\sqrt{3x}$×$\sqrt{6y}$=$\sqrt{3x\cdot6y}$=$\sqrt{3^{2}×2xy}$=3$\sqrt{2xy}$.　　
(3)5$\sqrt{45}$×$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{2}{3}}$=5×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{45×\frac{2}{3}}$=$\frac{15}{2}$$\sqrt{30}$.　　
(4)$\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$÷$\sqrt{50}$=$\sqrt{10}$÷$\sqrt{50}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{50}}$=$\sqrt{\frac{10}{50}}$=$\sqrt{\frac{1}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.　　
(5)($\sqrt{5}$−1)²−(3$\sqrt{2}$−2$\sqrt{3}$)(3$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$)=6−2$\sqrt{5}$−6=−2$\sqrt{5}$.

20. 已知$x= \frac {\sqrt {3}+\sqrt {2}}{\sqrt {3}-\sqrt {2}},y= \frac {\sqrt {3}-\sqrt {2}}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}$,求$\frac {x^{3}-xy^{2}}{x^{4}y+2x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}}\cdot (x+y)$的值。

答案： 4$\sqrt{6}$

21. 已知实数x,y,是否存在实数m满足关系式$\sqrt {3x+5y-2-m}+\sqrt {2x+3y-m}= \sqrt {x-100+y}\cdot \sqrt {100-x-y}$？如果存在,求出m的值；如果不存在,请说明理由。

答案： 存在,m=102.理由如下:　由题意，得$\begin{cases}x - 100 + y\geq0,\\100 - x - y\geq0,\end{cases}$解得x + y = 100.
∴$\sqrt{3x + 5y - 2 - m}$+$\sqrt{2x + 3y - m}$=0.
∴$\begin{cases}x + y = 100,\\3x + 5y - 2 - m = 0,\\2x + 3y - m = 0,\end{cases}$解得m = 102.
∴m的值为102.

22. 阅读：古希腊的几何学家海伦,在数学史上以解决几何测量问题而闻名,在他的著作《度量》一书中,给出了一公式：若一个三角形的三边长分别为a,b,c,记$p= \frac {a+b+c}{2}$,则三角形的面积$S= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$,此公式称为“海伦公式”。
思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地,如图,测得$AB= 7m,AC= 5m,BC= 8m$,你能求出李大爷这块菜地的面积吗？(结果精确到0.1)

答案： 李大爷这块菜地的面积约为17.3m².