《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

10. 如图,在梯形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,$ \angle B = 30^{\circ} $,$ \angle C = 60^{\circ} $,$ E,M,F,N $ 分别是 $ AB,BC,CD,DA $ 的中点,若 $ BC = 7 $,$ MN = 3 $,则 $ FE $ 等于(B)。

A.5
B.4
C.6
D.3

答案： B

11. 已知实数 $ a,b,x,y $ 满足 $ y + |\sqrt{x} - \sqrt{3}| = 1 - a^{2} $,$ |x - 3| = y - 1 - b^{2} $,则 $ 2^{x + y} + 2^{a + b} $ 的值是______17。

答案： 17

12. 若 $ 1 ＜ a ＜ 2 $,$ b = \frac{\sqrt{\frac{2 - a}{a}} + \sqrt{\frac{a}{2 - a}}}{\sqrt{\frac{2 - a}{a}} - \sqrt{\frac{a}{2 - a}}} $,则 $ b(a - 1) = $-1。

答案： -1

13. 如图,正方形 $ ABCD $ 和正方形 $ CGEF $ 的边长分别是 2 和 3,且点 $ B,C,G $ 在同一直线上,$ M $ 是线段 $ AE $ 的中点,连接 $ MF $,则 $ MF $ 的长为______$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

14. 比 $ (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{6} $ 大的最小整数是970。

答案： 970

15. 以线段 $ a = 16,b = 13 $ 为梯形的两底,$ c = 10 $ 为一腰,那么另一腰 $ d $ 的范围是7＜d＜13。

答案： 7＜d＜13

16. 在梯形 $ ABCD $ 中,$ AB // CD $,$ EF $ 是中位线,$ AB:CD = 7:3 $,则 $ S_{梯形EFCD}:S_{梯形ABFE} = $$\frac{2}{3}$。

答案： $\frac{2}{3}$

17. 在等腰梯形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,$ AC \perp BD $,$ AD + BC = 10 $,则梯形的高 $ AE = $5。

答案： 5

18. 若等腰梯形大底等于对角线长,小底等于高长,则小底与大底的比是3:5。

答案： 3:5

19. 已知关于 $ x,y,z $ 的等式 $ 2023x^{3} = 2024y^{3} = 2025z^{3} $,$ xyz ＞ 0 $,且 $ \sqrt[3]{2023x^{2} + 2024y^{2} + 2025z^{2}} = \sqrt[3]{2023} + \sqrt[3]{2024} + \sqrt[3]{2025} $,求 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} $ 的值。

答案： 设2023$x^{3}$=2024$y^{3}$=2025$z^{3}$=k,显然k≠0.于是2023=$\frac{k}{x^{3}}$,2024=$\frac{k}{y^{3}}$,2025=$\frac{k}{z^{3}}$,代入已知式得$\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}$=$\sqrt[3]{\frac{k}{x^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^{3}}}$,则$\sqrt[3]{k}$·$\sqrt[3]{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$=$\sqrt[3]{k}$($\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$).由k≠0和xyz＞0可知x＞0,y＞0,z＞0,所以$\sqrt[3]{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$,两边立方,得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=1.

20. 若实数 $ a,b $ 满足 $ 3\sqrt{a - 1} + 5|b| = 7 $,$ S = 2\sqrt{a - 1} - 3|b| $,求 $ W = 15S + 2 $ 的最大值与最小值。

答案： 解：
设$\sqrt{a - 1}=x$，$\vert b\vert = y$（$x\geq0$，$y\geq0$）。
则$3x + 5y = 7$，$S = 2x - 3y$。
由$3x + 5y = 7$可得$x=\frac{7 - 5y}{3}$。
将$x=\frac{7 - 5y}{3}$代入$S = 2x - 3y$中：
$S = 2×\frac{7 - 5y}{3}-3y=\frac{14 - 10y}{3}-3y=\frac{14 - 10y - 9y}{3}=\frac{14 - 19y}{3}$。
因为$x=\frac{7 - 5y}{3}\geq0$，$y\geq0$，
由$\frac{7 - 5y}{3}\geq0$得$7-5y\geq0$，$5y\leq7$，$y\leq\frac{7}{5}$。
又$y\geq0$，所以$0\leq y\leq\frac{7}{5}$。
对于$S=\frac{14 - 19y}{3}$，$S$随$y$的增大而减小。
当$y = 0$时，$S_{max}=\frac{14}{3}$；
当$y=\frac{7}{5}$时，$S_{min}=\frac{14 - 19×\frac{7}{5}}{3}=\frac{70 - 133}{15}=-\frac{63}{15}=-\frac{21}{5}$。
因为$W = 15S+2$。
当$S_{max}=\frac{14}{3}$时，$W_{max}=15×\frac{14}{3}+2 = 70 + 2=72$；
当$S_{min}=-\frac{21}{5}$时，$W_{min}=15×(-\frac{21}{5})+2=-63 + 2=-61$。
所以$W = 15S + 2$的最大值为$72$，最小值为$-61$。