《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

12. 中考新考法 满足结论的条件开放 在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,要使四边形$ABCD$是平行四边形,还需补充的一个条件是AB//CD(答案不唯一)。

答案： AB//CD(答案不唯一)

13. 一个平行四边形的两条对角线的长度分别为$5$和$7$,则它的一条边长$a$的取值范围是1＜a＜6。

答案： 1＜a＜6

14. 若菱形的周长为$24\mathrm{cm}$,一个内角为$60^{\circ}$,则菱形的面积为18$\sqrt{3}$$\mathrm{cm}^{2}$。

答案： 18$\sqrt{3}$

15. 已知正方形$ABCD$,在其所在平面内以$AD为边作等边三角形ADE$,则$\angle AEB = $75°或15°。

答案： 75°或15°

16. 如图,四边形$ABCD与AEGF$均为矩形,点$E$,$F分别在线段AB$,$AD$上。若$BE = FD = 2\mathrm{cm}$,矩形$AEGF的周长为20\mathrm{cm}$,则图中阴影部分的面积为24$\mathrm{cm}^{2}$。

答案： 24

17. 如图,在菱形$ABCD$中,$\angle A = 30^{\circ}$,取大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径,分别以点$A$,$B$为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交$AD边于点E$(作图痕迹如图所示),连接$BE$,$BD$,则$\angle EBD$的度数为45°。

答案： 45°　[解析]由题意知,AE=BE,所以∠EBA=∠A=30°.在菱形ABCD中,∠A+∠ABC=180°,所以∠ABC=180°−∠A=180°−30°=150°.因为BD是菱形ABCD的对角线，所以BD平分∠ABC.所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=75°.所以∠EBD=∠ABD−∠EBA=75°−30°=45°.

18. 如图,点$A$,$F$,$G$,$H$,$B$都在同一条直线上,四边形①②③都是正方形,若五边形$ABCDE的面积是25$,正方形②的面积是$8$,则图中阴影部分的面积是2.25。

答案： 2.25

19. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E在BC$上,$AE = AD$,$DF\perp AE$,垂足为点$F$。
(1)求证：$DF = AB$；
(2)若$\angle FDC = 30^{\circ}$,且$AB = 4$,求$AD$的长。

答案：
(1)在矩形ABCD中，
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠DAF.又DF⊥AE,
∴∠DFA=90°.
∴∠DFA=∠B.又AD=EA,
∴△ADF≌△EAB(AAS).
∴DF=AB；
(2)
∵∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠FDC=∠DAF=30°.
∴AD=2DF.
∵DF=AB=4,
∴AD=2AB=8.

20. 如图,在$□ ABCD$中,$AE平分\angle BAD$,交$BC于点E$,$CF平分\angle BCD$,交$AD于点F$。求证：$AE = CF$。

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠FCD=$\frac{1}{2}$∠BCD,
∴∠BAE=∠FCD.在△ABE与△CDF中,{∠BAE=∠DCF,AB=CD,∠B=∠D,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF.