《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

19. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E为BC$的中点,$AE的延长线与DC的延长线相交于点F$。求证：
(1)$∠DFA= ∠FAB$；
(2)$\triangle ABE≌\triangle FCE$。

答案：
(1)
∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，
∴$AB// CD$。
∴$\angle F=\angle FAB$。
(2)
∵E是BC的中点，
∴$BE=CE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases} \angle EAB=\angle F \\ \angle AEB=\angle FEC \\ BE=CE \end{cases}$，
∴$\triangle ABE\cong \triangle FCE(AAS)$。

20. 如图,在矩形$ABCD$中,点$M在DC$上,$AM= AB$,且$BN⊥AM$,垂足为$N$。
(1)求证：$\triangle ABN≌\triangle MAD$；
(2)若$AD= 2$,$AN= 4$,求四边形$BCMN$的面积。

答案：
(1)在矩形ABCD中，$\angle D=90^{\circ}$，$DC// AB$，
∴$\angle BAN=\angle AMD$．
∵$BN\perp AM$，
∴$\angle BNA=90^{\circ}$．在$\triangle ABN$和$\triangle MAD$中，$\begin{cases} \angle BAN=\angle AMD \\ \angle BNA=\angle D=90^{\circ} \\ BA=AM \end{cases}$，
∴$\triangle ABN\cong \triangle MAD(AAS)$．
(2)
∵$\triangle ABN\cong \triangle MAD$，
∴$BN=AD$．
∵$AD=2$，
∴$BN=2$．又$AN=4$，
∴在$Rt\triangle ABN$中，$AB=\sqrt{AN^{2}+BN^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴$S_{矩形ABCD}=2× 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，$S_{\triangle ABN}=S_{\triangle MAD}=\frac{1}{2}× 2× 4=4$，
∴$S_{四边形BCMN}=S_{矩形ABCD}-S_{\triangle ABN}-S_{\triangle MAD}=4\sqrt{5}-8$．

21. 如图,在$\triangle ABC$中,$O是边AC$上(端点除外)的一个动点,过点$O作直线MN// BC$。设$MN交∠BCA的平分线于点E$,交$∠BCA的外角平分线于点F$,连接$AE$,$AF$。那么当点$O$运动到何处时,四边形$AECF$是矩形？并证明你的结论。

答案： 当点O运动到AC的中点(或$OA=OC$)时，四边形AECF是矩形。证明如下:
∵CE平分$\angle BCA$，
∴$\angle 1=\angle 2$。
又$MN// BC$，
∴$\angle 1=\angle 3$。
∴$\angle 3=\angle 2$。
∴$EO=CO$。
同理$FO=CO$，
∴$EO=FO$。
又$OA=OC$，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵CF是$\angle BCA$的外角平分线，
∴$\angle 4=\angle 5$。
又$\angle 1=\angle 2$，
∴$\angle 1+\angle 5=\angle 2+\angle 4$。
又$\angle 1+\angle 5+\angle 2+\angle 4=180^{\circ}$，
∴$\angle 2+\angle 4=90^{\circ}$。
∴平行四边形AECF是矩形。

22. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$的中点,$E是AD$的中点,过点$A作AF// BC交CE的延长线于点F$。
(1)求证：$FA= BD$；
(2)连接$BF$,若$AB= AC$,求证：四边形$ADBF$是矩形。

答案：
(1)
∵$AF// BC$，
∴$\angle AFE=\angle DCE$，$\angle FAE=\angle CDE$。
又E为AD的中点，
∴$AE=DE$，
∴$\triangle AEF\cong \triangle DEC(AAS)$，
∴$AF=DC$。
又D为BC的中点，
∴$BD=CD$，
∴$AF=BD$。
(2)
∵$AF=BD$，$AF// BD$，
∴四边形ADBF是平行四边形。
∵$AB=AC$，D为BC的中点，
∴$AD\perp BC$，
∴$\angle ADB=90^{\circ}$，
∴平行四边形ADBF是矩形。