《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

11. 如图,等边三角形纸片 $ ABC $ 的边长为 6,$ E $,$ F $ 是边长 $ BC $ 的三等分点.分别过点 $ E $,$ F $ 沿着平行于 $ BA $,$ CA $ 方向各剪一刀,则剪下的 $ \triangle DEF $ 的周长是6。

答案： 6　[解析]
∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F 是边BC上的三等分点，
∴EF=2.
　
∵△ABC是等边三角形，
　
∴∠B=∠C=60°.　又DE//AB,DF//AC,
　
∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°.
　
∴△DEF是等边三角形.
　
∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.

12. 如图,为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的理论依据是三角形具有稳定性。

答案： 三角形具有稳定性

13. 若三角形三个内角度数的比为 $ 2 : 3 : 4 $,则相应的外角比是7:6:5。

答案： 7:6:5

14. 在等腰三角形 $ ABC $ 中,如果两边长分别为 $ 6 \text{cm} $,$ 10 \text{cm} $,那么这个等腰三角形的周长为22cm或26cm。

答案： 22cm或26cm

15. 将一副三角尺按如图所示的方式放置,使含 $ 30^{\circ} $ 角的三角尺的短直角边和含 $ 45^{\circ} $ 角的三角尺的一条直角边重合,则 $ \angle 1 $ 的度数是75°。

答案： 75°

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 47^{\circ} $,三角形的外角 $ \angle DAC $ 和 $ \angle ACF $ 的平分线交于点 $ E $,则 $ \angle AEC = $66.5°。

答案： 66.5°

17. 如果将长度为 $ a - 2 $,$ a + 5 $ 和 $ a + 2 $ 的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形,那么 $ a $ 的取值范围是a＞5。

答案： a＞5

18. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 4 $,$ BC = 7 $,$ \angle B = 60^{\circ} $,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,$ CD = 3 $,连接 $ AD $,如果将 $ \triangle ACD $ 沿直线 $ AD $ 翻折后,点 $ C $ 的对应点为点 $ E $,那么点 $ E $ 到直线 $ BD $ 的距离为____。

答案：
$\frac {3\sqrt {3}}{2}$　[解析]如图,过点E作EH⊥BC于点H.
∵BC=7,CD=3,
∴BD=BC−CD=4.
∵AB=4=BD,∠B=60°,　　　　　　　　　　　　　
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°,
∴∠ADC=∠ADE=120°,
∴∠EDH=60°,
∴∠HED=30°.
∵EH⊥BC,
∴∠EHD=90°.
∵DE=DC=3,
$∴HD=\frac {1}{2}DE=\frac {3}{2},$
$∴EH=\sqrt {(DE²−HD²)}=\frac {3\sqrt {3}}{2},$
$∴点E到直线BD的距离为\frac {3\sqrt {3}}{2}.$

19. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,三条高 $ AD $,$ BE $,$ CF $ 交于点 $ O $.若 $ \angle BAC = 60^{\circ} $,求 $ \angle BOC $ 的度数。

答案： 在△ABC中,∠BAC=60°,三条高AD,BE,CF相交于点O,
∴∠BEA=90°,∠CFA=90°.
　
∴∠ABE=30°,∠ACF=30°,
　
∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BAC−∠OBA−∠OCA=60°.
∴∠BOC=180°−60°=120°.

20. 如图,已知 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $,点 $ F $ 是 $ AD $ 反向延长线上的一点,$ EF \perp BC $,$ \angle 1 = 40^{\circ} $,$ \angle C = 65^{\circ} $.求 $ \angle B $ 和 $ \angle F $ 的度数。

答案：
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠DAC.
　
∵∠1=40°,
∴∠DAC=40°.
　
∵∠C=65°,
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−65°=35°,
∴∠EDF=∠B+∠1=35°+40°=75°.
　
∵EF⊥BC,
∴在Rt△EDF中,∠F=90°−∠EDF=90°−75°=15°.