《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

7. 如图,$\triangle ABC与\triangle DFE关于y$轴对称,已知$A(-4,6)$,$B(-6,2)$,$E(2,1)$,则点$D$的坐标为(B).

A.$(-4,6)$
B.$(4,6)$
C.$(-2,1)$
D.$(6,2)$

答案： B

8. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$\angle B= 50^{\circ}$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$\triangle ADB与\triangle ADB'关于直线AD$对称,点$B的对称点是点B'$,则$\angle CAB'$的度数为(A).
A.$10^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： 1. 首先，在$Rt\triangle ABC$中：
已知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle B = 50^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle BAC - \angle B$。
把$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle B = 50^{\circ}$代入可得$\angle C = 180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
2. 然后，因为$\triangle ADB$与$\triangle ADB'$关于直线$AD$对称：
根据轴对称的性质，$\angle AB'D=\angle B$。
已知$\angle B = 50^{\circ}$，所以$\angle AB'D = 50^{\circ}$。
3. 最后，根据三角形外角性质：
因为$\angle AB'D$是$\triangle AB'C$的外角，根据三角形外角性质$\angle AB'D=\angle C+\angle CAB'$。
则$\angle CAB'=\angle AB'D-\angle C$。
把$\angle AB'D = 50^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$代入可得$\angle CAB'=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$。
所以$\angle CAB'$的度数为$10^{\circ}$，答案是A。

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 36^{\circ}$,$AB= AC$,$BD是\triangle ABC$的角平分线. 若在边$AB上截取BE= BC$,连接$DE$,则图中等腰三角形共有(D).

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=72°/2=36°。
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，△ABD是等腰三角形。
在△BCD中，∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72°，∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC，△BCD是等腰三角形。
∵BE=BC，BD=BC，
∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，∠BED=∠BDE=(180°-∠ABD)/2=(180°-36°)/2=72°。
∠AED=180°-∠BED=180°-72°=108°，∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-36°-108°=36°，∠A=∠ADE=36°，
∴AE=DE，△AED是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC、△ABD、△BCD、△BDE、△AED，共5个。
D

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle BAD= 120^{\circ}$,$\angle B= \angle D= 90^{\circ}$,在$BC$,$CD上分别找一个点M$,$N$,使$\triangle AMN$周长最小时,则$\angle AMN+\angle ANM$的度数为(B).
A.$130^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

答案： 【解析】：本题可根据轴对称的性质，通过作点$A$关于$BC$和$CD$的对称点，利用两点之间线段最短求出$\triangle AMN$周长最小时$M$、$N$的位置，再结合四边形内角和以及轴对称的性质求出$\angle AMN + \angle ANM$的度数。
步骤一：作点$A$关于$BC$和$CD$的对称点
作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，作点$A$关于$CD$的对称点$A''$，连接$A'A''$，分别交$BC$于点$M$，交$CD$于点$N$，此时$\triangle AMN$的周长最小。
步骤二：根据轴对称的性质得到相关角和线段的关系
根据轴对称的性质可知：
$AM = A'M$，$AN = A''N$，$\angle A' = \angle BAM$，$\angle A'' = \angle DAN$，$\angle A'MB = \angle AMB$，$\angle A''ND = \angle AND$。
因为$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，在四边形$ABCD$中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle C = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$。
由于$A$与$A'$关于$BC$对称，$A$与$A''$关于$CD$对称，所以$\angle A' + \angle A'' = \angle BAM + \angle DAN$，那么$\angle A' + \angle A'' + \angle MAN = \angle BAM + \angle DAN + \angle MAN = \angle BAD = 120^{\circ}$，所以$\angle A' + \angle A'' = 120^{\circ} - \angle MAN$。
又因为$\angle MAN = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$，所以$\angle A' + \angle A'' = 120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$。
步骤三：求$\angle AMN + \angle ANM$的度数
在$\triangle AMN$中，$\angle AMN = 180^{\circ} - 2\angle A'MB = 180^{\circ} - 2\angle AMB$，$\angle ANM = 180^{\circ} - 2\angle A''ND = 180^{\circ} - 2\angle AND$。
在四边形$A'MA''N$中，$\angle A' + \angle A'' + \angle A'MA'' + \angle A''NA' = 360^{\circ}$，而$\angle A'MA'' = 180^{\circ} - \angle AMN$，$\angle A''NA' = 180^{\circ} - \angle ANM$，所以$\angle A' + \angle A'' + (180^{\circ} - \angle AMN) + (180^{\circ} - \angle ANM) = 360^{\circ}$。
将$\angle A' + \angle A'' = 60^{\circ}$代入上式可得：$60^{\circ} + 360^{\circ} - (\angle AMN + \angle ANM) = 360^{\circ}$，移项可得$\angle AMN + \angle ANM = 120^{\circ}$。
【答案】：B

11. 点$P(-2,3)$关于x轴的对称点的坐标是(−2,−3).

答案： (−2,−3)

12. 如图,在等边三角形$ABC$中,$AD\perp BC$,$AB= 5cm$,则$DC$的长为2.5cm.

答案： 2.5cm

13. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle A= 30^{\circ}$,$BD是\angle ABC$的平分线. 若$BD= 10$,则$CD= $5.

答案： 5

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 31^{\circ}$,$\angle ABC的平分线BD交AC于点D$,如果$DE垂直平分BC$,那么$\angle A= $87°.

答案： 87°

15. 若实数$x$,$y满足|x - 4|+\sqrt{y - 8}= 0$,则以$x$,$y$的值为边长的等腰三角形的周长为20.

答案： 20

16. 在矩形纸片$ABCD$中,长$AD= 8cm$,宽$AB= 4cm$,折叠纸片,使折痕经过点$B$,交$AD边于点E$,点$A落在点A'$处,展平后得到折痕$BE$,同时得到线段$BA'$,$EA'$,不再添加其他线段. 当图中存在$30^{\circ}$角时,$AE$的长为______.

答案：
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm或$4\sqrt{3}$cm或$(8 - 4\sqrt{3})$cm
[解析]①当∠ABE=30°时,AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$;
②当∠AEB=30°时,AE=$4\sqrt{3}$;
③当∠ABE=15°时,∠ABA'=30°,如图所示,在线段AB上取一点F,使得EF=BF.
　　　　　　
设AE=x,
∵EF=BF,
∴∠FBE=∠FEB=15°.
∴∠EFA=15°+15°=30°.
在Rt△AEF中,AE=x,EF=BF=2x,
∴AF=$\sqrt{3}x$.
∴$\sqrt{3}x + 2x = 4$,解得$x = 8 - 4\sqrt{3}$.
综上所述，AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm或$4\sqrt{3}$cm或$(8 - 4\sqrt{3})$cm.

17. 已知等边三角形$ABC$的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点$P$,若点$P到AB$的距离是1,点$P到AC$的距离是2,则点$P到BC$的最小距离和最大距离分别是1,7.

答案： 1,7