《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

24. 中考新考法 类比猜想 如图(1),在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D是直线BC$上一点(不与点$B$,$C$重合),以$AD为一边在AD的右侧作\triangle ADE$,使$AD= AE$,$\angle DAE= \angle BAC$,连接$CE$. 设$\angle BAC= \alpha$,$\angle DCE= \beta$.
(1)求证：$\triangle DAB\cong \triangle EAC$；
(2)当点$D在线段BC$上运动时,
①$\alpha=50^{\circ}$,则$\beta=$130$^{\circ}$；
②猜想$\alpha与\beta$之间的数量关系,并对你的结论进行证明；
 (3)如图(2),当点$D在线段BC$的反向延长线上运动时,猜想$\alpha与\beta$之间的数量关系,并对你的结论给出证明.


(1)∵∠DAE=∠BAC,∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD.∴∠CAE=∠BAD.在△DAB和△EAC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right. $∴△DAB≌△EAC(SAS).
(2)②α+β=180°.证明如下:由(1)知,△DAB≌△EAC,∴∠ABC=∠ACE.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$.∴β=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=$90°-\frac{1}{2}α+90°-\frac{1}{2}α=180°-α$.∴α+β=180°.
(3)β=α.证明如下:∵∠DAE=∠BAC,∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE.∴∠BAD=∠CAE.在△DAB和△EAC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right. $∴△DAB≌△EAC(SAS).∴∠ABD=∠ACE.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$.∴∠ACE=∠ABD=$180°-∠ABC=180°-(90°-\frac{1}{2}α)=90°+\frac{1}{2}α$.∴β=∠ACE-∠ACB=$90°+\frac{1}{2}α-(90°-\frac{1}{2}α)=α$.

答案：
(1)
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD.
∴∠CAE=∠BAD.
在△DAB和△EAC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right. $
∴△DAB≌△EAC(SAS).
(2)①130　[解析]由
(1)知,△DAB≌△EAC,
∴∠ABC=∠ACE.
　　在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α=50°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-50°)=65°$.
∴β=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=65°+65°=130°.
　　②α+β=180°.证明如下:
　　由
(1)知,△DAB≌△EAC,
∴∠ABC=∠ACE.
　　在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$.
∴β=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=$90°-\frac{1}{2}α+90°-\frac{1}{2}α=180°-α$.
∴α+β=180°.
(3)β=α.证明如下:
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE.
∴∠BAD=∠CAE.
在△DAB和△EAC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right. $
∴△DAB≌△EAC(SAS).
∴∠ABD=∠ACE.
　　在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$.
∴∠ACE=∠ABD=$180°-∠ABC=180°-(90°-\frac{1}{2}α)=90°+\frac{1}{2}α$.
∴β=∠ACE-∠ACB=$90°+\frac{1}{2}α-(90°-\frac{1}{2}α)=α$.

25. 中考新考法 操作探究 问题探究：如图(1),在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,为探究$Rt\triangle ABC中30^{\circ}角所对的直角边AC与斜边AB$的数量关系,学习小组成员已经添加了辅助线.
(1)请叙述辅助线的添法,并完成探究过程.
探究应用1：如图(2),在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,点$D在线段CB$上,以$AD为边作等边三角形ADE$,连接$BE$,为探究线段$BE与DE$之间的数量关系,组长已经添加了辅助线：取$AB的中点F$,连接$EF$.
(2)线段$BE与DE$之间的数量关系是BE=DE；并说明理由.
探究应用2：如图(3),在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,点$D在线段CB$的延长线上,以$AD为边作等边三角形ADE$,连接$BE$.
(3)线段$BE与DE$之间的数量关系是BE=DE,并说明理由.

答案：
(1)作CB的垂直平分线分别交AB,BC于点P,D,
∴PC=PB.
∴∠PCB=∠B=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A=60°,∠ACP=60°.
∴∠APC=∠A=∠ACP=60°.
∴△ACP是等边三角形.
∴AC=AP=PC.
∴AC=AP=PC=PB=$\frac{1}{2}$AB,
　即AC=$\frac{1}{2}$AB.
(2)BE=DE.理由如下:
∵F是AB的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB.
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}$AB,∠CAB=60°.
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°.
∴∠CAB=∠DAE.
∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3,
即∠1=∠2.
在△ACD和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AF,\\ ∠1=∠2,\\ AD=AE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△AFE(SAS).
∴∠C=∠AFE=90°.
∴EF⊥AB.
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线.
∴AE=BE.
∴BE=DE.
(3)BE=DE.理由如下:
取AB的中点F,连接EF,
∴AF=$\frac{1}{2}$AB.
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}$AB,∠CAB=60°.
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°.
∴∠CAB=∠DAE.
∴∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD,
即∠CAD=∠BAE.
在△ACD和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AF,\\ ∠CAD=∠BAE,\\ AD=AE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△AFE(SAS).
∴∠C=∠AFE=90°.
∴EF⊥AB.
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线.
∴AE=BE.
∴BE=DE.