《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

22. 如图,正方形$ABCD的面积为4$,正方形$BEFG的面积为2$,求$\triangle DEF$的面积(结果保留两位小数,$\sqrt{2} \approx 1.414$)。

答案：
∵正方形ABCD的面积为4,
∴BC=$\sqrt{4}$=2.
∵正方形BEFG的面积为2,
∴EF=BE=$\sqrt{2}$,
∴CE=BC-BE=2-$\sqrt{2}$,
∴S$_{\triangle DEF}$=$\frac{1}{2}$EF·CE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×(2-$\sqrt{2}$)=$\sqrt{2}$-1≈0.41.故△DEF的面积约为0.41.

23. 利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整数系数方程。例如：$a = \sqrt{2} + 1$时,移项,得$a - 1 = \sqrt{2}$；两边平方,得$(a - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2}$,所以$a^{2} - 2a + 1 = 2$,即$a^{2} - 2a - 1 = 0$,仿照上述方法完成下面的题目。
已知$a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$,求：
(1)$a^{2} + a$的值；
(2)$a^{3} - 2a + 2025$的值。

答案：
(1)由题意,得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,移项,得a+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$.两边平方,得a$^{2}$+a+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$.所以a$^{2}$+a=1.
(2)
∵a$^{2}$+a=1,
∴a$^{2}$-1=-a.则a$^{3}$-2a+2025=a$^{3}$-a-a+2025=a(a$^{2}$-1)-a+2025=a·(-a)-a+2025=-(a$^{2}$+a)+2025=2024.

24. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 先阅读下列的解答过程,然后再解答：
形如$\sqrt{m \pm 2\sqrt{2}}$的化简,只要我们找到两个数$a$,$b$,使$a + b = m$,$ab = n$,使得$(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$,$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$,那么便有：
$\sqrt{m \pm 2\sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}(a ＞ b)$。
例如：化简$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$。
解：首先把$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}化为\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$,这里$m = 7$,$n = 12$,由于$4 + 3 = 7$,$4 × 3 = 12$,即$(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$,$\sqrt{4} × \sqrt{3} = \sqrt{12}$,
$\therefore \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$。
由上述例题的方法化简：$\sqrt{13 - 2\sqrt{42}}$。

答案： $\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$