《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

19. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$AB = CD$,$E为BC$的中点,连接$DE$. 延长$DE交AB的延长线于点F$. 求证：$AB = BF$.

答案：
∵AB//CD,
∴∠CDF=∠F,∠CBF=∠C.
　　又E为BC的中点，
∴BE=CE.
　
∴△DEC≌△FEB(AAS).
∴CD=BF.
　　又AB=CD,
∴AB=BF.

20. 中考新考法 新定义问题 两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形. 如图,在筝形$ABCD$中,$AB = AD$,$BC = DC$,$AC$,$BD相交于点O$.
(1)求证：①$\triangle ABC\cong\triangle ADC$；
②$OB = OD$,$AC\perp BD$；
(2)如果$AC = 6$,$BD = 4$,求筝形$ABCD$的面积.

答案：
(1)①
∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
　
∴△ABC≌△ADC(SSS).
　　②由①,知∠BAO=∠DAO.
　　又AB=AD,OA=OA,
　
∴△ABO≌△ADO(SAS).
　
∴OB=OD,∠AOB=∠AOD.
　　又∠AOB+∠AOD=180°,
　
∴∠AOB=90°,即AC⊥BD.
(2)筝形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD 的面积=$\frac{1}{2}AC\cdot BO+\frac{1}{2}AC\cdot OD=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×6×4=12$.

21. 如图,在正方形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边AB$,$BC$上,$AF = DE$,$AF和DE相交于点G$.
(1)观察图形,写出图中所有与$\angle AED$相等的角；
(2)选择图中与$\angle AED$相等的任意一个角,并加以证明.

答案：
(1)由图可知,∠DAG,∠AFB,∠CDE与∠AED 相等.
(2)选择∠DAG=∠AED.证明如下:
　
∵四边形ABCD是正方形，
　
∴∠DAB=∠B=90°,AD=AB.
　　在△DAE与△ABF中,
$\left\{\begin{array}{l} AD=BA,\\ DE=AF,\end{array}\right. $
　
∴△DAE≌△ABF(HL).
∴∠ADE=∠BAF.
　
∵∠DAG+∠BAF=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠DAG=∠AED.

22. 如图,已知$D为等腰直角三角形ABC$内一点,$\angle CAD = \angle CBD = 15^{\circ}$,$E为AD$延长线上的一点,且$CE = CA$.
(1)求证：$DE平分\angle BDC$；
(2)若点$M在DE$上,且$DC = DM$,求证：$ME = BD$.

答案：

(1)在等腰直角三角形ABC中，
　
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°−15°=30°.
　
∴BD=AD.
∴△BDC≌△ADC(SAS).
　
∴∠DCA=∠DCB=45°.
　
∵∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°,∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°,
　
∴∠BDM=∠EDC.
∴DE平分∠BDC,
(2)如图，连接MC，
　　　　　
　
∵DC=DM,且∠MDC=60°,
　
∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.
　　又∠EMC=180°−∠DMC=180°−60°=120°,∠ADC=180°−∠MDC=180°−60°=120°,
　
∴∠EMC=∠ADC.
　　又CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM=15°.
　
∴△ADC≌△EMC(AAS).
∴ME=AD=BD.