《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

20. 如图,$∠BAC= ∠ABD$,$AC= BD$,点$O是AD$,$BC$的交点,点$E是AB$的中点。试判断$OE和AB$的位置关系,并给出证明。

答案： OE垂直且平分AB.证明如下:
在$\triangle BAC$和$\triangle ABD$中，
$\begin{cases}AC = BD\\∠BAC = ∠ABD\\BA = AB\end{cases}$
$\therefore \triangle BAC\cong\triangle ABD(SAS)$.
$\therefore ∠OBA = ∠OAB$，$\therefore OA = OB$.
又$AE = BE$，$\therefore OE⊥AB$.
又点E是AB的中点，
$\therefore OE$垂直且平分AB.

21. 如图,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= BC$,$D为\triangle ABC$外一点,且$AD= BD$,$DE⊥AC交CA的延长线于点E$。求证：$DE= AE+BC$。

答案：
如图，连接CD，
$\because AC = BC$，$AD = BD$，
∴点C在AB的垂直平分线上，点D在AB的垂直平分线上，
∴CD是AB的垂直平分线.
$\because ∠ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ACD = \frac{1}{2}∠ACB = 45^{\circ}$.
$\because DE⊥AC$，$\therefore ∠CDE = ∠ACD = 45^{\circ}$，
$\therefore CE = DE$，
$\therefore DE = AE + AC = AE + BC$.

22. 如图,在等边三角形$ABC$中,点$M为AB$边上任意一点,延长$BC至点N$,使$CN= AM$,连接$MN交AC于点P$,$MH⊥AC于点H$。
(1)求证：$MP= NP$；
(2)若$AB= a$,求线段$PH$的长(结果用含$a$的代数式表示)。

答案：

(1)如图，过点M作$MQ// BC$，交AC于点Q.
在等边三角形ABC中，$∠A = ∠B = ∠ACB = 60^{\circ}$，
$\because MQ// BC$，
$\therefore ∠AMQ = ∠B = 60^{\circ}$，$∠AQM = ∠ACB = 60^{\circ}$，$∠QMP = ∠N$，
$\therefore \triangle AMQ$是等边三角形，$\therefore AM = QM$.
$\because AM = CN$，$\therefore QM = CN$.
在$\triangle QMP$和$\triangle CNP$中，$\begin{cases}∠QPM = ∠CPN\\∠QMP = ∠N\\QM = CN\end{cases}$
$\therefore \triangle QMP\cong\triangle CNP(AAS)$，$\therefore MP = NP$.
(2)$\because \triangle AMQ$是等边三角形，且$MH⊥AC$，
$\therefore AH = HQ$.
$\because \triangle QMP\cong\triangle CNP$，$\therefore QP = CP$，
$\therefore PH = HQ + QP = \frac{1}{2}AC$.
$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore AC = AB = a$，$\therefore PH = \frac{1}{2}a$.