《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

23. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$BC的垂直平分线DE交BC于点D$,交$AB于点E$,$F在DE$上,且$AF= CE= AE$。
(1)求证：四边形$ACEF$是平行四边形；
(2)当$∠B$满足什么条件时,四边形$ACEF$是菱形？并说明理由。

答案：
(1)由题意，得$\angle FDC=\angle DCA=90^{\circ}$。
∴$EF// CA$。
∴$\angle AEF=\angle EAC$。
∵$AF=CE=AE$，
∴$\angle F=\angle AEF=\angle EAC=\angle ECA$。
又$AE=EA$，
∴$\triangle AEC\cong \triangle EAF(AAS)$。
∴$EF=CA$。
∴四边形ACEF是平行四边形。
(2)当$\angle B=30^{\circ}$时，四边形ACEF是菱形。理由如下:
∵$\angle B=30^{\circ}$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
∴$AC=\frac{1}{2}AB$。
∵$DE$垂直平分BC，
∴$BE=CE$。
又$AE=CE$，
∴$CE=\frac{1}{2}AB$。
∴$AC=CE$。
由
(1)可知四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形。

24. 如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E是AB$边上一点,$CE= AB$,$DF⊥BC$,垂足为点$F$,交$CE于点G$,连接$DE$,$EF$。
(1)求证：$∠AED= 90^{\circ }-\frac {1}{2}∠DCE$；
(2)若$E是AB$边的中点,求证：$∠EFB= \frac {1}{2}∠DEF$。

答案：
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$。
又$CE=AB$，
∴$CE=CD$，
∴$\angle CDE=\angle CED=\frac{180^{\circ}-\angle DCE}{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DCE$。
∵$CD// AB$，
∴$\angle AED=\angle CDE=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DCE$。
(2)如图，延长DA，FE交于点M。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$。
∴$\angle M=\angle EFB$。
又$DF\perp BC$，
∴$DF\perp AD$。
在$\triangle AEM$和$\triangle BEF$中，$\begin{cases} \angle M=\angle EFB \\ \angle AEM=\angle BEF \\ AE=BE \end{cases}$，
∴$\triangle AEM\cong \triangle BEF(AAS)$，
∴$ME=EF$。
又$DF\perp DM$，
∴$ME=DE=EF$，
∴$\angle M=\angle MDE$，
∴$\angle DEF=\angle M+\angle MDE=2\angle M$，
∴$\angle EFB=\angle M=\frac{1}{2}\angle DEF$。

25. 中考新考法 操作探究 已知结论：在直角三角形中,$30^{\circ }$所对的直角边是斜边的一半,请利用这个结论进行下列探究活动。
如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$∠A= 30^{\circ }$,$BC= 2\sqrt {3}$,$D为AB$中点,$P为AC$上一点,连接$PD$,把$\triangle APD沿PD翻折得到\triangle EPD$,连接$CE$。
(1)$AB= $$4\sqrt{3}$,$AC= $6；
(2)若$P为AC$上一动点,且点$P从点A$出发,沿$AC以每秒一个单位长度的速度向C$运动,设点$P运动时间为t$秒。
①当$t= $$2\sqrt{3}$秒时,以$A$,$P$,$E$,$D$为顶点的四边形可以构成平行四边形；
②在点$P$运动过程中,是否存在以$B$,$C$,$E$,$D$为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出$t$的值；若不存在,请说明理由。

存在，当$t = 2$秒或6秒时，以B，C，E，D为顶点的四边形是平行四边形。

答案：
(1)$4\sqrt{3}$ 6
(2)①$2\sqrt{3}$
②如图
(1)，若四边形DECB是平行四边形，则$DE// BC$，$DE$交AC于点H。
∴$\angle ADE=\angle B=60^{\circ}$，$\angle AHD=\angle ACB=90^{\circ}$。
∵$\angle A=30^{\circ}$，$\angle AHD=90^{\circ}$，
∴$HD=\frac{1}{2}AD=\sqrt{3}$。
∴$AH=\sqrt{AD^{2}-HD^{2}}=3$。
∵把$\triangle APD$沿PD翻折得到$\triangle EPD$，
∴$\angle ADP=\angle EDP=30^{\circ}$。
∴$PD=2PH$。
∵$\angle A=\angle ADP=30^{\circ}$，
∴$AP=PD=2PH$。
∵$AH=AP + PH=3PH=3$，
∴$PH=1$。
∴$AP=2$。
∴$t=\frac{2}{1}=2$(秒)。
如图
(2)，若四边形DEBC是平行四边形，则$DE// BC$，
∴$\angle CBD=\angle BDE=60^{\circ}$。
∵$DE=AD=DB=BC=2\sqrt{3}$，
∴$\triangle DBE$是等边三角形，$\triangle BCD$是等边三角形。
∴$\angle CDB=60^{\circ}$。
∴$\angle ADC=\angle EDC=120^{\circ}$。
在$\triangle ACD$和$\triangle ECD$中，$\begin{cases} AD=ED \\ \angle ADC=\angle EDC \\ CD=CD \end{cases}$，
∴$\triangle ACD\cong \triangle ECD(SAS)$。
∴$AC=EC$。
∴当点P与点C重合时，把$\triangle APD$沿PD翻折得到$\triangle EPD$，此时四边形DEBC是平行四边形，
∴$t=\frac{6}{1}=6$(秒)。
综上所述，当$t = 2$秒或6秒时，以B，C，E，D为顶点的四边形是平行四边形。