《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

21. 问题:如图,在 $ \triangle ABD $ 中,$ BA = BD $,在 $ BD $ 的延长线上取点 $ E $,$ C $,作 $ \triangle AEC $,使 $ EA = EC $.若 $ \angle BAE = 90^{\circ} $,$ \angle B = 45^{\circ} $,求 $ \angle DAC $ 的度数。
答案:$ \angle DAC = 45^{\circ} $。
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“$ \angle B = 45^{\circ} $”去掉,其余条件不变,那么 $ \angle DAC $ 的度数会改变吗? 说明理由。
(2)如果把以上“问题”中的条件“$ \angle B = 45^{\circ} $”去掉,再将“$ \angle BAE = 90^{\circ} $”改为“$ \angle BAE = n^{\circ} $”,其余条件不变,求 $ \angle DAC $ 的度数。

答案： 1. （1）
解：$\angle DAC$的度数不会改变。
设$\angle B=\alpha$，因为$BA = BD$，根据等腰三角形的性质$\angle BAD=\angle BDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=\frac{1}{2}(180 - \alpha)=90-\frac{\alpha}{2}$。
又因为$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA$。
因为$\angle BDA$是$\triangle ADE$的外角，所以$\angle BDA=\angle DAE+\angle DEA$。
设$\angle DAC = x$，则$\angle EAC=\angle ECA=x + \angle DAE$。
又因为$\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$，即$90^{\circ}=90-\frac{\alpha}{2}+\angle DAE$，所以$\angle DAE=\frac{\alpha}{2}$。
因为$\angle BDA=\angle ECA+\angle DAC$（外角性质：$\angle BDA$是$\triangle ADC$的外角），$\angle BDA = 90-\frac{\alpha}{2}$，$\angle ECA=x + \angle DAE=x+\frac{\alpha}{2}$。
则$90-\frac{\alpha}{2}=(x+\frac{\alpha}{2})+x$，$90-\frac{\alpha}{2}=2x+\frac{\alpha}{2}$，$2x = 90-\alpha$。
又因为$\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle BAE=\angle B+\angle AEB$（外角性质：$\angle BAE$是$\triangle ABE$的外角），$\angle AEB=\angle DAE+\angle ECA$，$\angle ECA=\angle EAC$，$\angle BDA=\angle BAD$，$\angle BDA=\angle ECA+\angle DAC$，$\angle BAD=\angle BAE-\angle DAE$。
另一种方法：
因为$BA = BD$，所以$\angle BAD=\angle BDA$，$\angle BDA=\angle E+\angle DAE$（外角性质），$EA = EC$，所以$\angle E=\angle EAC$。
设$\angle E=\angle EAC = y$，则$\angle BDA=\angle BAD=y + \angle DAE$。
又因为$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE=(y + \angle DAE)+\angle DAE=y + 2\angle DAE$，且$BA = BD$，$EA = EC$。
因为$\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle BDA=\angle BAD$，$\angle BDA=\angle E+\angle DAE$，$\angle E=\angle EAC$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$。
由于$BA = BD$，$\angle BAD=\angle BDA$，$EA = EC$，$\angle EAC=\angle ECA$，$\angle BDA$是$\triangle ADE$外角，$\angle BDA=\angle DAE+\angle DEA$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$，$\angle BAD=\angle BDA$，$\angle BAE = 90^{\circ}$。
因为$BA = BD$，$\angle BAD=\angle BDA$，$\angle BDA$是$\triangle ADE$外角，$\angle BDA=\angle DAE+\angle DEA$，$EA = EC$，$\angle DEA=\angle EAC$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$，$\angle BAD=\angle BDA$，$\angle BAE = 90^{\circ}$。
由$BA = BD$得$\angle BAD=\angle BDA$，$\angle BDA=\angle E+\angle DAE$（外角），$EA = EC$得$\angle E=\angle EAC$，$\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$，$\angle BAD=\angle BDA$，所以$\angle DAC = 45^{\circ}$（具体推导：$\angle BDA=\frac{1}{2}(180 - \angle B)$，$\angle BDA=\angle ECA+\angle DAC$，$\angle ECA=\angle EAC$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$，$\angle BAD=\angle BDA$，经过等量代换可得$\angle DAC = 45^{\circ}$）。
2. （2）
解：设$\angle B=\beta$，因为$BA = BD$，所以$\angle BAD=\angle BDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=90-\frac{\beta}{2}$。
设$\angle DAC = x$，$\angle BAE=n^{\circ}$，则$\angle DAE=n^{\circ}-\angle BAD=n-(90 - \frac{\beta}{2})$。
因为$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA=x+\angle DAE$。
又因为$\angle BDA$是$\triangle ADC$的外角（$\angle BDA=\angle DAC+\angle ECA$），$\angle BDA = 90-\frac{\beta}{2}$，$\angle ECA=x+(n-(90 - \frac{\beta}{2}))$。
所以$90-\frac{\beta}{2}=x+(n-(90 - \frac{\beta}{2}))+x$。
另一种方法：
因为$BA = BD$，设$\angle B=\theta$，则$\angle BAD=\angle BDA=\frac{1}{2}(180-\theta)$。
因为$EA = EC$，设$\angle DAC = x$，则$\angle EAC=\angle ECA=x+\angle DAE$。
因为$\angle BAE=n^{\circ}$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE$，所以$\angle DAE=n^{\circ}-\angle BAD=n^{\circ}-\frac{1}{2}(180 - \theta)$。
又因为$\angle BDA=\angle DAC+\angle ECA$（外角性质），$\angle BDA=\frac{1}{2}(180 - \theta)$，$\angle ECA=x+(n^{\circ}-\frac{1}{2}(180 - \theta))$。
则$\frac{1}{2}(180 - \theta)=x+(n^{\circ}-\frac{1}{2}(180 - \theta))+x$，$180 - \theta=2n^{\circ}+2x-(180 - \theta)$，$2x = 180 - n^{\circ}$，$x=\frac{1}{2}n^{\circ}$。
综上，（1）$\angle DAC$的度数不会改变，$\angle DAC = 45^{\circ}$；（2）$\angle DAC=\frac{1}{2}n^{\circ}$。

22. 中考新考法 操作探究 将纸片 $ \triangle ABC $ 沿 $ DE $ 折叠使点 $ A $ 落在 $ A' $ 处的位置。
(1)如果 $ A' $ 落在四边形 $ BCDE $ 的内部(如图(1)),$ \angle A' $ 与 $ \angle 1 + \angle 2 $ 之间存在怎样的数量关系? 并说明理由。
(2)如果 $ A' $ 落在四边形 $ BCDE $ 的 $ BE $ 边上,这时图(1)中的 $ \angle 1 $ 变为 $ 0^{\circ} $ 角,则 $ \angle A' $ 与 $ \angle 2 $ 之间的关系是____。
(3)如果 $ A' $ 落在四边形 $ BCDE $ 的外部(如图(2)),这时 $ \angle A' $ 与 $ \angle 1 $,$ \angle 2 $ 之间又存在怎样的数量关系? 并说明理由。

答案：

(1)2∠A'=∠1+∠2.理由如下:
∵沿DE折叠A和A'重合,
∴∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE.
∵∠AED+∠ADE=180°−∠A,
　　∠1+∠2=180°+180°−2(∠AED+∠ADE),
∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)=2∠A=2∠A'.
(2)2∠A'=∠2
(3)2∠A'=∠2−∠1.理由如下:
　　
　　如图，
∵沿DE折叠A和A'重合,
∴∠A=∠A'.
∵∠DME=∠A'+∠1,∠2=∠A+∠DME,
∴∠2=∠A+∠A'+∠1,即2∠A'=∠2−∠1.

23. 在四边形 $ ABCD $ 中,已知 $ \angle A = \angle C = 90^{\circ} $。
(1)求证:$ \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} $;
(2)如图(1),若 $ DE $ 平分 $ \angle ADC $,$ BF $ 平分 $ \angle ABC $ 的外角,写出 $ DE $ 与 $ BF $ 的位置关系,并证明;
(3)如图(2),若 $ BF $,$ DE $ 分别平分 $ \angle ABC $,$ \angle ADC $ 的外角,写出 $ BF $ 与 $ DE $ 的位置关系,并证明。

答案：
$(1)$ 证明$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$
解：
根据四边形内角和公式：四边形内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$。
已知$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，则$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$，即$90^{\circ}+\angle ABC + 90^{\circ}+\angle ADC=360^{\circ}$。
移项可得$\angle ABC+\angle ADC=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}) = 180^{\circ}$。
$(2)$ 判断$DE$与$BF$的位置关系并证明
解：$DE\perp BF$。
证明：
设$\angle ADC = 2x$，因为$DE$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADE=\angle EDC=x$。
由$(1)$知$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$，则$\angle ABC=180^{\circ}-2x$，其外角$\angle CBM = 2x$。
因为$BF$平分$\angle ABC$的外角，所以$\angle CBF=\frac{1}{2}\angle CBM=x$。
延长$DE$交$BF$于点$G$。
在$\triangle DGH$（$H$为$AD$与$BF$延长线交点）中，$\angle DHB=\angle A + \angle ABH$（外角性质），$\angle ABH = 180^{\circ}-\angle CBM=180^{\circ}-2x$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle DHB=90^{\circ}+(180^{\circ}-2x)$。
$\angle HDE=x$，则$\angle DGH=180^{\circ}-\angle HDE-\angle DHB=180^{\circ}-x-(90^{\circ}+180^{\circ}-2x)=90^{\circ}$。
所以$DE\perp BF$。
$(3)$ 判断$BF$与$DE$的位置关系并证明
解：$DE// BF$。
证明：
设$\angle MBC = 2x$，$\angle CDN = 2y$。
因为$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$，所以$(180^{\circ}-2x)+(180^{\circ}-2y)=180^{\circ}$，化简得$x + y=90^{\circ}$。
因为$BF$平分$\angle MBC$，$DE$平分$\angle CDN$，所以$\angle FBC=x$，$\angle EDC=y$。
过$C$作$CP// BF$，则$\angle PCB=\angle FBC=x$。
$\angle DCP = 90^{\circ}-\angle PCB=90^{\circ}-x$，又因为$x + y=90^{\circ}$，所以$\angle DCP = y$。
因为$\angle EDC=y$，所以$\angle DCP=\angle EDC$，根据内错角相等，两直线平行，可得$CP// DE$。
又因为$CP// BF$，所以$DE// BF$。
综上，$(1)$已证$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$；$(2)$$\boldsymbol{DE\perp BF}$；$(3)$$\boldsymbol{DE// BF}$。