《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

19. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$CD平分\angle ACB交AB于点D$,$AE// DC交BC的延长线于点E$,已知$\angle E= 36^{\circ}$,求$\angle B$的度数.

答案：
∵AE//DC,
∴∠BCD=∠E=36°.
　　又CD平分∠ACB,
　
∴∠ACB=2∠BCD=72°,
　
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=72°.

20. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,点$D是BC$的中点,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$. 求证：
(1)$\angle B= \angle C$；
(2)$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案：
(1)
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,
∴DE=DF.
　
∵D是BC的中点，
∴BD=DC.
　　在Rt△BDE和Rt△CDF中,
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ DE=DF,\end{array}\right. $
　
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
　
∴∠B=∠C.
(2)由
(1)可得∠B=∠C,
　
∴△ABC为等腰三角形.

21. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$BD\perp AD$,垂足为点$D$,过点$D作DE// AC$,交$AB于点E$,若$AB= 5$,求线段$DE$的长.

答案：
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
　
∵DE//AC,
∴∠CAD=∠ADE.
　
∴∠BAD=∠ADE.
　
∴AE=DE.
　
∵AD⊥DB,
∴∠ADB=90°,
　
∴∠EAD+∠ABD=90°,
　∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°.
　
∴∠ABD=∠BDE.
　
∴DE=BE.
　
∵AB=5,
∴DE=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=2.5.

22. 如图,在平面直角坐标系中,形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是$A(2,3)$,$B(1,0)$,$C(0,3)$.
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形.
(2)画出原“V”字图形关于$x$轴对称的图形.
(3)所得图形与原图形结合起来,你能从中看出什么英文字母？(任意答一个即可)

答案：

(1)如图
(1)所示.
　
(2)如图
(2)所示.
(3)图
(1)是“W”，图
(2)是“X”.

23. 已知点$A(-3,2a-1)$,点$B(-a,a-3)$.
(1)若点$A$在第二、四象限角平分线上,求点$A关于y轴的对称点A'$的坐标；
(2)若线段$AB// x$轴,求线段$AB$的长度；
(3)若点$B到x轴的距离是到y$轴距离的2倍,求点$B$的坐标.

答案：
(1)
∵点A在第二、四象限角平分线上,
　
∴-3+2a-1=0,
∴a=2.
∴A(-3,3),
　
∴点A关于y轴的对称点A'的坐标为(3,3).
(2)
∵线段AB//x轴,
∴2a-1=a-3,
　
∴a=-2,
∴A(-3,-5),B(2,-5),
　
∴线段AB=2-(-3)=2+3=5.
(3)
∵点B到x轴的距离是到y轴距离的2倍,
　
∴2|-a|=|a-3|,
∴a=1或a=-3,
　
∴B(-1,-2)或B(3,-6).