《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

23. 请你观察下列运算过程：$\frac {1}{1+\sqrt {2}}= -1+\sqrt {2},\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}}= -\sqrt {2}+\sqrt {3},\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {4}}= -\sqrt {3}+\sqrt {4},...$。
(1)通过观察你能得出什么规律？
(2)利用(1)中你发现的规律计算：$\frac {1}{1+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}}+... +\frac {1}{\sqrt {2024}+\sqrt {2025}}$。

答案：
(1)$\frac{1}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}$=$\sqrt{x + 1}$−$\sqrt{x}$.　　
(2)由
(1)得,原式=$\sqrt{2}$−1+$\sqrt{3}$−$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2025}$−$\sqrt{2024}$=$\sqrt{2025}$−1.

24. 中考新考法 阅读理解题 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”。
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算。如$a^{2}\pm 2ab+b^{2}= (a\pm b)^{2}$,那么$\sqrt {a^{2}\pm 2ab+b^{2}}= |a\pm b|$。如何将双重二次根式$\sqrt {5\pm 2\sqrt {6}}$化简？我们可以把$5\pm 2\sqrt {6}转化为(\sqrt {3})^{2}\pm 2\sqrt {6}+(\sqrt {2})^{2}= (\sqrt {3}\pm \sqrt {2})^{2}$完全平方的形式,因此双重二次根式$\sqrt {5\pm 2\sqrt {6}}= \sqrt {(\sqrt {3}\pm \sqrt {2})^{2}}= \sqrt {3}\pm \sqrt {2}$得以化简。
材料二：在平面直角坐标系xOy中,对于点$P(x,y)和Q(x,y')$给出如下定义：若$y'= \left\{\begin{array}{l} y(x≥0),\\ -y(x＜0),\end{array} \right. $则称点Q为点P的“横负纵变点”。例如：点$(3,2)$的“横负纵变点”为$(3,2)$,点$(-2,5)$的“横负纵变点”为$(-2,-5)$。
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点$(\sqrt {2},-\sqrt {3})$的“横负纵变点”为$(\sqrt{2},-\sqrt{3})$,点$(-3\sqrt {3},-2)$的“横负纵变点”为$(-3\sqrt{3},2)$；
(2)化简：$\sqrt {7+2\sqrt {10}}$；
$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2×\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}}=|\sqrt{5}+\sqrt{2}|=\sqrt{5}+\sqrt{2}$
(3)已知a为常数$(1≤a≤2)$,点$M(-\sqrt {2},m)且m= \frac {1}{\sqrt {2}}(\sqrt {a+2\sqrt {a-1}}+\sqrt {a-2\sqrt {a-1}})$,点$M'$是点M的“横负纵变点”,则点$M'$的坐标是$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$。

答案：
(1)($\sqrt{2}$,-$\sqrt{3}$)　(-3$\sqrt{3}$,2)[解析]
∵$\sqrt{2}$≥0,
∴点($\sqrt{2}$,-$\sqrt{3}$)的“横负纵变点”为($\sqrt{2}$,-$\sqrt{3}$).
∵-3$\sqrt{3}$＜0,
∴点(-3$\sqrt{3}$,-2)的“横负纵变点”为(-3$\sqrt{3}$,2).
(2)$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$=$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2×\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}}$=$|\sqrt{5}+\sqrt{2}|$=$\sqrt{5}+\sqrt{2}$.
(3)(-$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$)[解析]
∵1≤a≤2,
∴0≤a - 1≤1,
∴0≤$\sqrt{a - 1}$≤1,
∴$\sqrt{a - 1}$ - 1≤0.
∴m=$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{(\sqrt{a - 1})^{2}+2\sqrt{a - 1}+1^{2}}+\sqrt{(\sqrt{a - 1})^{2}-2\sqrt{a - 1}+1^{2}})$=$\frac{1}{\sqrt{2}}(|\sqrt{a - 1}+1|+|\sqrt{a - 1}-1|)$=$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a - 1}+1+1 - \sqrt{a - 1})$=$\frac{1}{\sqrt{2}}×2$=$\sqrt{2}$,
∴M(-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$).
∵-$\sqrt{2}$＜0,
∴M'(-$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$).