《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

23. [问题提出](1)请用两种不同的方法列代数式表示图(1)中阴影部分的面积。
方法1$a^{2} - b^{2}$,方法2$(a + b)(a - b)$。
[问题应用](2)若$a+b= 6$,$a^{2}-24= b^{2}$,求$a和b$的值。
∵$a^{2} - 24 = b^{2}$，$\therefore a^{2} - b^{2} = 24$.
$\therefore (a + b)(a - b) = 24$.
$\because a + b = 6$，$\therefore a - b = 4$，$\therefore a = 5$，$b = 1$.
[应用拓展](3)如图(1),“丰收1号”小麦试验田是边长为$a\ \text{m}(a＞b＞0)的正方形去掉一个边长为b\ \text{m}$的正方形蓄水池后余下的部分,如图(2),“丰收2号”小麦试验田是边长为$(a-b)\ \text{m}$的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg。
①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为$\frac{500}{(a + b)(a - b)}$，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为$\frac{500}{(a - b)^{2}}$，
$\because a + b ＞ a - b$，$\therefore \frac{500}{(a + b)(a - b)} ＜ \frac{500}{(a - b)^{2}}$.
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高.
$\because \frac{500}{(a - b)^{2}}÷\frac{500}{(a + b)(a - b)} = \frac{a + b}{a - b}$，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + b}{a - b}$倍.
②若$b= 1$,高的单位面积产量比低的单位面积产量多$\frac {40}{(a-b)^{2}}\ \text{kg}$,求$a$的值。
由题意，得$\frac{500}{(a - 1)^{2}} - \frac{500}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{40}{(a - 1)^{2}}$，
解得$a = 24$.即a的值是24.

答案：
(1)$a^{2} - b^{2}$ $(a + b)(a - b)$
(2)
∵$a^{2} - 24 = b^{2}$，$\therefore a^{2} - b^{2} = 24$.
$\therefore (a + b)(a - b) = 24$.
$\because a + b = 6$，$\therefore a - b = 4$，$\therefore a = 5$，$b = 1$.
(3)①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为$\frac{500}{(a + b)(a - b)}$，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为$\frac{500}{(a - b)^{2}}$，
$\because a + b ＞ a - b$，$\therefore \frac{500}{(a + b)(a - b)} ＜ \frac{500}{(a - b)^{2}}$.
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高.
$\because \frac{500}{(a - b)^{2}}÷\frac{500}{(a + b)(a - b)} = \frac{a + b}{a - b}$，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + b}{a - b}$倍.
②由题意，得$\frac{500}{(a - 1)^{2}} - \frac{500}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{40}{(a - 1)^{2}}$，
解得$a = 24$.即a的值是24.

24. 中考新考法 归纳一般结论 观察下列等式：
$12×231= 132×21$；
$13×341= 143×31$；
$23×352= 253×32$；
$34×473= 374×43$；
$62×286= 682×26$；
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”。
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”：
①$52×$275= 572$×25$；
②63$×396= 693×$36。
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为$a$,个位数字为$b$,且$2\leqslant a+b\leqslant 9$,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含$a$,$b$),并证明。
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是$10a + b$，三位数是$100b + 10(a + b) + a$，右边的两位数是$10b + a$，三位数是$100a + 10(a + b) + b$.
∴一般规律的式子为$(10a + b)×[100b + 10(a + b) + a] = [100a + 10(a + b) + b]×(10b + a)$.证明如下:
左边$=(10a + b)×[100b + 10(a + b) + a]$
$=(10a + b)(100b + 10a + 10b + a)$
$=(10a + b)(110b + 11a)$
$=11(10a + b)(10b + a)$，
右边$=[100a + 10(a + b) + b]×(10b + a)$
$=(100a + 10a + 10b + b)(10b + a)$
$=(110a + 11b)(10b + a)$
$=11(10a + b)(10b + a)$，
左边 = 右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为$(10a + b)×[100b + 10(a + b) + a] = [100a + 10(a + b) + b]×(10b + a)$.

答案：
(1)①275 572 ②63 36
(2)
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是$10a + b$，三位数是$100b + 10(a + b) + a$，右边的两位数是$10b + a$，三位数是$100a + 10(a + b) + b$.
∴一般规律的式子为$(10a + b)×[100b + 10(a + b) + a] = [100a + 10(a + b) + b]×(10b + a)$.证明如下:
左边$=(10a + b)×[100b + 10(a + b) + a]$
$=(10a + b)(100b + 10a + 10b + a)$
$=(10a + b)(110b + 11a)$
$=11(10a + b)(10b + a)$，
右边$=[100a + 10(a + b) + b]×(10b + a)$
$=(100a + 10a + 10b + b)(10b + a)$
$=(110a + 11b)(10b + a)$
$=11(10a + b)(10b + a)$，
左边 = 右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为$(10a + b)×[100b + 10(a + b) + a] = [100a + 10(a + b) + b]×(10b + a)$.