《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

20. 已知一组数据$x_{1},x_{2},...,x_{6}$的平均数为2,方差为2.
(1)求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+... +x_{6}^{2}$;
(2)若在这组数据中加入另一个数据$x_{7}$,重新计算,平均数无变化,求这7个数据的方差。(结果用分数表示)

答案：
(1)
∵数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的平均数为2,
　
∴$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}=2×6=12$.又方差为2,
　
∴$s^{2}=\frac{1}{6}[(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+\cdots+(x_{6}-2)^{2}]=\frac{1}{6}[x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\cdots+x^{2}_{6}-4(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6})+24]=\frac{1}{6}(x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\cdots+x^{2}_{6}-4×12+24)=\frac{1}{6}(x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\cdots+x^{2}_{6}-24)=2$,
∴$x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\cdots+x^{2}_{6}=36$.　　
(2)
∵数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{7}$的平均数为2,
　
∴$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}=2×7=14$.
　
∵$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}=12$,
∴$x_{7}=2$.
　
∵$\frac{1}{6}[(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+\cdots+(x_{6}-2)^{2}]=2$,
∴$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+\cdots+(x_{6}-2)^{2}=12$.
　
∴$s^{2}=\frac{1}{7}[(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+\cdots+(x_{7}-2)^{2}]=\frac{1}{7}[12+(2-2)^{2}]=\frac{12}{7}$.

21. 某校对初中毕业生按综合素质、考试成绩、体育测试三项给学生评定毕业成绩,其权重比例为4:4:2,毕业成绩达到80分以上(含80分)为“优秀毕业生”,小明、小亮的三项成绩如表(单位:分).
| |综合素质|考试成绩|体育测试|
|满分|100|100|100|
|小明|72|98|60|
|小亮|90|75|95|
问:小明和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平? 哪位同学的毕业成绩更好些?

答案： 由权重比例4:4:2,得权重分别为40%,40%,20%.　小明:72×40%+98×40%+60×20%=28.8+39.2+12=80(分),　小亮:90×40%+75×40%+95×20%=36+30+19=85(分).　故两位同学都是优秀毕业生，小亮的毕业成绩更好些.

22. 为了了解某学校七年级学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽查了该学校七年级m名同学,对其每周平均课外阅读时间进行统计,绘制了条形统计图(如图(1))和扇形统计图(如图(2)):
(1)根据以上信息回答下列问题:
①求m值;
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数;
③补全条形统计图。
(2)直接写出这组数据的众数、中位数,求出这组数据的平均数。

答案：

(1)①
∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为$90^{\circ}$,
　
∴其所占的百分比为$\frac{90}{360}×100\%=25\%$.
　
∵课外阅读时间为2小时的有15人，
　
∴$m=15÷25\%=60$.　②依题意，得$\frac{5}{60}×360^{\circ}=30^{\circ}$.　③课外阅读时间为3小时的人数为60−10−15-10−5=20.　补全条形统计图如下:　　　　 　　
(2)
∵课外阅读时间为3小时的人最多，为20人，
∴众数为3小时.
　
∵共60人,中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，
　
∴中位数为3小时.平均数为$\frac{10×1+15×2+20×3+10×4+5×5}{60}=2.75$(小时).