《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

23. 如图,$E是\angle AOB$的平分线上一点,$EC\perp OA$,$ED\perp OB$,垂足分别为$C$,$D$. 求证：
(1)$\angle ECD= \angle EDC$；
(2)$OE是CD$的垂直平分线.

答案：
(1)
∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED ⊥OB,
∴EC=DE.
∴∠ECD=∠EDC.
(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中,$\left\{\begin{array}{l}OE = OE\\CE = DE\end{array}\right.$
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).
∴OC=OD.
又CE=DE,
∴OE是CD的垂直平分线.

24. 如图,$C为线段AE$上一动点(不与点$A$,$E$重合),在$AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE$,$AD与BC相交于点P$,$BE与CD相交于点Q$,连接$PQ$. 求证：$\triangle PCQ$为等边三角形.

答案：
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°.
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD =∠BCE.
在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{array}{l}AC = BC\\∠ACD = ∠BCE\\CD = CE\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠DAC=∠CBE.
又点C在线段AE上，
∴∠BCD=60°.
在△APC和△BQC中,$\left\{\begin{array}{l}∠PAC = ∠QBC\\AC = BC\\∠ACP = ∠BCQ = 60°\end{array}\right.$
∴△APC≌△BQC(ASA).
∴CP=CQ.
∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).

25. 中考新考法 证明代数结论 (1)如图(1),在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$,直线$m经过点A$,$BD\perp直线m$,$CE\perp直线m$,垂足分别为点$D$,$E$. 求证：$DE= BD+CE$.
(2)如图(2),将(1)中的条件更改为：在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D$,$A$,$E三点都在直线m$上,并且有$\angle BDA= \angle AEC= \angle BAC= \alpha$,其中$\alpha$为任意锐角或钝角. 请问结论$DE= BD+CE$是否成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用：如图(3),$D$,$E是D$,$A$,$E三点所在直线m$上的两动点($D$,$A$,$E$三点互不重合),点$F为\angle BAC$平分线上的一点,且$\triangle ABF和\triangle ACF$均为等边三角形,连接$BD$,$CE$,若$\angle BDA= \angle AEC= \angle BAC$,试判断$\triangle DEF$的形状.

答案：
(1)
∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,$\left\{\begin{array}{l}∠ABD = ∠CAE\\∠BDA = ∠AEC\\AB = CA\end{array}\right.$
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)成立.证明如下:
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,
∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,$\left\{\begin{array}{l}∠ABD = ∠CAE\\∠BDA = ∠AEC\\AB = CA\end{array}\right.$
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)由
(2)知,△ADB≌△CEA,
∴BD=AE,∠DBA=∠CAE.
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°.
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF.
∴∠DBF=∠EAF.
在△DBF和△EAF中,$\left\{\begin{array}{l}FB = FA\\∠FBD = ∠FAE\\BD = AE\end{array}\right.$
∴△DBF≌△EAF(SAS).
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE.
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD =60°.
∴△DEF为等边三角形.