《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

20. 已知等腰三角形的两边长分别为方程组$\begin{cases}\sqrt{5}x+\sqrt{3}y= 4,\\\sqrt{5}x-\sqrt{3}y= 1\end{cases} $的两个根,求这个等腰三角形的周长.

答案： 解方程组$\begin{cases}\sqrt{5}x+\sqrt{3}y=4,\\\sqrt{5}x-\sqrt{3}y=1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}}{2},\\y=\frac{\sqrt{3}}{2},\end{cases}$所以这个等腰三角形的三条边长分别为$\frac{\sqrt{5}}{2}$,$\frac{\sqrt{5}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$.所以这个等腰三角形的周长为$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{5}}{2}$.

21. 中考新考法 归纳一般结论 探索规律：
先观察下列各式,再回答问题.
$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}= 1\frac{1}{2}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}= 1\frac{1}{6}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}= 1\frac{1}{12}$.
(1)根据上面三个等式提供的消息,请猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}$的结果,不用验证；
(2)按照上面各等式反映的规律,试写出用含$n$的式子表示的等式($n$为正整数),不用验证.

答案：
(1)观察可得$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1\frac{1}{20}$.
(2)$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1\frac{1}{n(n+1)}$.

22. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 4\text{cm}$,$BC= 8\text{cm}$,$AC的垂直平分线EF分别交AD$,$BC于点E$,$F$,垂足为点$O$.
(1)连接$AF$,$CE$,求证：四边形$AFCE$为菱形；
(2)求菱形$AFCE$的边长.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC.
∴∠EAO=∠FCO.
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC,EF⊥AC.
∴∠AOE=∠COF=90°.在△AOE和△COF中,$\begin{cases}\angle EAO=\angle FCO,\\OA=OC,\\\angle AOE=\angle COF,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF.
∵OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形.
(2)
∵四边形AFCE是菱形,
∴AF=FC.设AF=x cm,则CF=x cm,BF=(8-x)cm,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°.
∴在Rt△ABF中,由勾股定理,得4²+(8-x)²=x²,解得x=5.即AF=5 cm.
∴菱形AFCE的边长为5 cm.

23. 如图,正方形$AEFG的顶点E$,$G在正方形ABCD的边AB$,$AD$上,连接$BF$,$DF$.
(1)求证：$BF= DF$；
(2)连接$CF$,请直接写出$BE:CF$的值.(不必写出计算过程)

答案：
(1)
∵四边形ABCD和AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG=EF=FG,∠BEF=∠DGF=90°.
∴BE=AB-AE,DG=AD-AG.
∴BE=DG.在△BEF和△DGF中,$\begin{cases}BE=DG,\\\angle BEF=\angle DGF,\\EF=GF,\end{cases}$
∴△BEF≌△DGF(SAS).
∴BF=DF.
(2)BE:CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.