《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

21. 试探究m为何值时,方程$\frac {x-1}{x+2}-\frac {x}{x-1}= \frac {m}{(x+2)(x-1)}$有负数解?

答案： 去分母,得$(x-1)(x-1)-x(x+2)=m$,解得$x=\frac{1-m}{4}$.由分式方程的解为负数,得$x=\frac{1-m}{4}＜0$,解得$m＞1$.由原分式方程有意义,得$x≠1$且$x≠-2$,即$\frac{1-m}{4}≠1$且$\frac{1-m}{4}≠-2$,解得$m≠-3$且$m≠9$.故当$m＞1$且$m≠9$时,原分式方程的解为负数.

22. 已知两个分式：$A= \frac {x^{2}}{x-y}-\frac {y^{2}}{x-y},B= \frac {y+2x}{x^{2}-y^{2}}+\frac {x+2y}{y^{2}-x^{2}}$,下面三个结论:①$A= B$;②A,B互为倒数;③A,B互为相反数.请问哪个结论正确?并说明理由.

答案： 结论②正确.因为$A=x+y$,$B=\frac{1}{x+y}$,所以$AB=1$,即A,B互为倒数.故结论②正确.

23. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题.
材料一:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的.
例:若$\frac {x}{x^{2}+1}= \frac {1}{4}$,求代数式$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}$的值.
解:$\because \frac {x}{x^{2}+1}= \frac {1}{4},\therefore \frac {x^{2}+1}{x}= 4,$
即$\frac {x^{2}}{x}+\frac {1}{x}= 4,\therefore x+\frac {1}{x}= 4.$
$\therefore x^{2}+\frac {1}{x^{2}}= (x+\frac {1}{x})^{2}-2= 16-2= 14.$
材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“k”,将连等式变成几个值为k的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.
例:若$2x= 3y= 4z$,且$xyz≠0$,求$\frac {x}{y+z}$的值.
解:令$2x= 3y= 4z= k(k≠0),$
则$x= \frac {k}{2},y= \frac {k}{3},z= \frac {k}{4},$
$\therefore \frac {x}{y+z}= \frac {\frac {1}{2}k}{\frac {1}{3}k+\frac {1}{4}k}= \frac {\frac {1}{2}}{\frac {7}{12}}= \frac {6}{7}.$
根据材料回答问题:
(1)已知$\frac {x}{x^{2}-x+1}= \frac {1}{4}$,求$x+\frac {1}{x}$的值.
(2)已知$\frac {a}{5}= \frac {b}{4}= \frac {c}{3}(abc≠0)$,求$\frac {3b+4c}{2a}$的值.
(3)已知x,y,z为实数,$\frac {xy}{x+y}= -2,\frac {yz}{y+z}= \frac {4}{3},\frac {zx}{z+x}= -\frac {4}{3}$.求分式$\frac {xyz}{xy+yz+zx}$的值.

答案：
(1)$\because \frac{x}{x^{2}-x+1}=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{x^{2}-x+1}{x}=4$.$\therefore x-1+\frac{1}{x}=4$.$\therefore x+\frac{1}{x}=5$.
(2)设$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k$,则$a=5k$,$b=4k$,$c=3k$,$\therefore \frac{3b+4c}{2a}=\frac{12k+12k}{10k}=\frac{12}{5}$.
(3)$\because \frac{xy}{x+y}=-2$,$\therefore \frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{2}$.$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}$.同理可得$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$,$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{3}{4}$,$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}$.$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{4}$.$\therefore \frac{xy+yz+xz}{xyz}=-\frac{1}{4}$.$\therefore \frac{xyz}{xy+yz+xz}=-4$.