《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

19. 计算：
(1)$-y^{3m-3}÷y^{m+1}$；
(2)$a\cdot a^{2}\cdot a^{3}+(a^{3})^{2}-(-2a^{2})^{3}$；
(3)$(-4ab^{3})(-\frac {1}{8}ab)-(\frac {1}{2}ab^{2})^{2}$；
(4)$15x^{3}y^{2}z^{4}÷(3x^{4}yz^{3}÷4x^{2}y)$。

答案： 1. （1）
解：根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$，对于$-y^{3m - 3}÷ y^{m + 1}$，可得：
$-y^{3m - 3-(m + 1)}$
$=-y^{3m - 3 - m - 1}$
$=-y^{2m-4}$。
2. （2）
解：
首先，根据同底数幂的乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，$a\cdot a^{2}\cdot a^{3}=a^{1 + 2+3}=a^{6}$；
其次，根据幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}$；
然后，根据积的乘方法则$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，$(-2a^{2})^{3}=(-2)^{3}\cdot(a^{2})^{3}=-8a^{6}$；
最后，将结果代入原式：
$a\cdot a^{2}\cdot a^{3}+(a^{3})^{2}-(-2a^{2})^{3}=a^{6}+a^{6}-(-8a^{6})$
$=a^{6}+a^{6}+8a^{6}$
$=(1 + 1+8)a^{6}$
$=10a^{6}$。
3. （3）
解：
先根据单项式乘单项式法则：$(-4ab^{3})\left(-\frac{1}{8}ab\right)=\left(-4\right)×\left(-\frac{1}{8}\right)a^{1 + 1}b^{3+1}=\frac{1}{2}a^{2}b^{4}$；
再根据积的乘方法则$\left(\frac{1}{2}ab^{2}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}a^{2}(b^{2})^{2}=\frac{1}{4}a^{2}b^{4}$；
最后计算：
$(-4ab^{3})\left(-\frac{1}{8}ab\right)-\left(\frac{1}{2}ab^{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}a^{2}b^{4}-\frac{1}{4}a^{2}b^{4}$
$=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)a^{2}b^{4}$
$=\frac{1}{4}a^{2}b^{4}$。
4. （4）
解：
先计算括号内的式子：根据同底数幂的除法法则$3x^{4}yz^{3}÷4x^{2}y=\frac{3}{4}x^{4 - 2}y^{1 - 1}z^{3}=\frac{3}{4}x^{2}z^{3}$；
再计算$15x^{3}y^{2}z^{4}÷(3x^{4}yz^{3}÷4x^{2}y)=15x^{3}y^{2}z^{4}÷\frac{3}{4}x^{2}z^{3}$；
根据单项式除单项式法则：$15x^{3}y^{2}z^{4}÷\frac{3}{4}x^{2}z^{3}=(15÷\frac{3}{4})x^{3 - 2}y^{2}z^{4 - 3}$
$=15×\frac{4}{3}xy^{2}z$
$=20xy^{2}z$。
综上，答案依次为：（1）$-y^{2m - 4}$；（2）$10a^{6}$；（3）$\frac{1}{4}a^{2}b^{4}$；（4）$20xy^{2}z$。

20. 分解因式：
(1)$x^{2}y^{2}-x^{2}-4y^{2}+4xy$；
(2)$(a^{2}+1)(a^{2}+2)+\frac {1}{4}$。

答案：
(1)x²y²−x²−4y²+4xy=(xy)²−(x−2y)²=(xy+x−2y)(xy−x+2y).
(2)(a²+1)(a²+2)+$\frac{1}{4}$=a⁴+3a²+$\frac{9}{4}$=(a²+$\frac{3}{2}$)².

21. 已知$x+\frac {1}{x}= 3$,求下列各式的值：
(1)$(x-\frac {1}{x})^{2}$；
(2)$x^{4}+\frac {1}{x^{4}}$。

答案：
(1)
∵(x+$\frac{1}{x}$)²=x²+2·x·$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x²}$，
∴(x - $\frac{1}{x}$)²=x² - 2·x·$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x²}$=x²+2x·$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x²}$ - 4x·$\frac{1}{x}$=(x+$\frac{1}{x}$)² - 4x·$\frac{1}{x}$=3² - 4 = 5.
(2)
∵(x - $\frac{1}{x}$)²=x² - 2+$\frac{1}{x²}$，
∴x²+$\frac{1}{x²}$=(x - $\frac{1}{x}$)²+2 = 5+2 = 7.
∵(x²+$\frac{1}{x²}$)²=x⁴+2+$\frac{1}{x⁴}$，
∴x⁴+$\frac{1}{x⁴}$=(x²+$\frac{1}{x²}$)² - 2 = 49 - 2 = 47.

22. 已知$5x^{2}-x-1= 0$,求代数式$(3x+2)(3x-2)+x(x-2)$的值。

答案： (3x+2)(3x - 2)+x(x - 2)=9x² - 4+x² - 2x = 10x² - 2x - 4.
∵5x² - x - 1 = 0，
∴5x² - x = 1，
∴原式=2(5x² - x) - 4 = - 2.