《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

16. 已知$x_{1},x_{2}是关于x的一元二次方程x^{2}-6x+k= 0$的两个实数根,且$x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}-x_{2}= 115$。求:
(1)$k$的值;
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8$的值。

答案：
(1)
∵x₁,x₂是方程x²-6x+k=0的两个实数根,
∴x₁+x₂=6,x₁x₂=k.
∵$x_1^2x_2^2$-x₁-x₂=115,
∴k²-6=115,解得k₁=11,k₂=-11.当k₁=11时,Δ=36-4k=36-44＜0,
∴k₁=11不合题意；当k₂=-11时,Δ=36-4k=36+44＞0,
∴k₁=-11符合题意.
∴k的值为-11.
(2)
∵x₁+x₂=6,x₁x₂=-11,
∴$x_1^2+x_2^2$+8=$(x_1+x_2)^2$-2x₁x₂+8=36+2×11+8=66.

17. 已知$x_{1},x_{2}是方程2x^{2}-3x-5= 0$的两个根,不解方程,求下列代数式的值:
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$;
(2)$|x_{1}-x_{2}|$;
(3)$\frac {x_{1}}{x_{2}}+\frac {x_{2}}{x_{1}}$。

答案： 依题意,得x₁+x₂=$\frac{3}{2}$,x₁x₂=-$\frac{5}{2}$.
(1)$x_1^2+x_2^2$=$(x_1+x_2)^2$-2x₁x₂=$(\frac{3}{2})^2$-2×(-$\frac{5}{2}$)=$\frac{29}{4}$.
(2)|x₁-x₂|²=$(x_1+x_2)^2$-4x₁x₂=$(\frac{3}{2})^2$-4×(-$\frac{5}{2}$)=$\frac{49}{4}$,则|x₁-x₂|=$\frac{7}{2}$.
(3)$\frac{x_1}{x_2}$+$\frac{x_2}{x_1}$=$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$=$\frac{\frac{29}{4}}{-\frac{5}{2}}$=-$\frac{29}{10}$.

18. 若$α=\frac {1+\sqrt {5}}{2}$为一元二次方程$x^{2}-x+t= 0$的根。
(1)方程的另外一个根$β=$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$,$t=$-1;
(2)求$α^{6}+8β$的值;∵α=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$为一元二次方程x²-x-1=0的根,∴α²-α-1=0.∴α²=1+α.∴α⁶=(α²)³=(1+α)³=1+3α+3α²+α³=1+3α+3(1+α)+α(1+α)=1+3α+3+3α+α+α²=1+3α+3+3α+α+1+α=8α+5.∴α⁶+8β=8α+5+8β=8(α+β)+5=8×1+5=13.
(3)求作一个关于$y$的一元二次方程,使其二次项系数为1,且两根分别为$α^{2},β^{2}$。∵α+β=1,αβ=-1,∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=1-2×(-1)=3,α²β²=(αβ)²=1,∴二次项系数为1,两根分别为α²,β²的关于y的一元二次方程是y²-3y+1=0.

答案：
(1)$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ -1
(2)
∵α=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$为一元二次方程x²-x-1=0的根,
∴α²-α-1=0.
∴α²=1+α.
∴α⁶=(α²)³=(1+α)³=1+3α+3α²+α³=1+3α+3(1+α)+α(1+α)=1+3α+3+3α+α+α²=1+3α+3+3α+α+1+α=8α+5.
∴α⁶+8β=8α+5+8β=8(α+β)+5=8×1+5=13.
(3)
∵α+β=1,αβ=-1,
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=1-2×(-1)=3,α²β²=(αβ)²=1,
∴二次项系数为1,两根分别为α²,β²的关于y的一元二次方程是y²-3y+1=0.

19. 关于$x的一元二次方程x^{2}+mx+m-2= 0$。
(1)若-2是该方程的一个根,求该方程的另一个根;
(2)求证:无论$m$取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
(3)设该方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+m(x_{1}+x_{2})= m^{2}+1$,求$m$的值。

答案：
(1)由题意,得4-2m+m-2=0,解得m=2,
∴原方程为x²+2x=0,解得x₁=-2,x₂=0,
∴方程的另一个根为0.
(2)
∵Δ=m²-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)²+4＞0,
∴无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.
(3)由根与系数的关系,得x₁+x₂=-m,x₁x₂=m-2.
∵$x_1^2+x_2^2$+m(x₁+x₂)=m²+1,
∴$(x_1+x_2)^2$-2x₁x₂+m(x₁+x₂)=m²+1,
∴m²-2(m-2)-m²=m²+1,整理,得m²+2m-3=0,解得m=-3或1.