《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

23. 小淇准备完成题目：化简：$(□x^{2}+6x+8)-(6x+5x^{2}+2)$。发现系数“□”印刷不清楚。
(1)他把“□”猜成3,请你化简：$(3x^{2}+6x+8)-(6x+5x^{2}+2)$。
(2)他妈妈说：“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数。”通过计算说明原题中“□”的值？

答案：
(1)(3x²+6x+8) - (6x+5x²+2)=3x²+6x+8 - 6x - 5x² - 2 = - 2x²+6.
(2)设“□”是a，则原式=(ax²+6x+8) - (6x+5x²+2)=ax²+6x+8 - 6x - 5x² - 2=(a - 5)x²+6.
∵标准答案的结果是常数，
∴a - 5 = 0，解得a = 5.故原题中“□”是5.

24. 中考新考法 归纳一般结论 (1)填空：
$(a-b)(a+b)=$$a² - b²$；
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=$$a³ - b³$；
$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=$$a⁴ - b⁴$。
(2)猜想：
$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+... +ab^{n-2}+b^{n-1})=$$aⁿ - bⁿ$(其中n为正整数,且$n≥2$)。
(3)利用(2)猜想的结论计算：
$2^{9}-2^{8}+2^{7}-... +2^{3}-2^{2}+2$。
令S = 2⁹ - 2⁸+2⁷ - … + 2³ - 2²+2，∴S - 1 = 2⁹ - 2⁸+2⁷ - … + 2³ - 2²+2 - 1=[2 - (- 1)](2⁹ - 2⁸+2⁷ - … + 2³ - 2²+2 - 1)÷3=[2¹⁰ - (- 1)¹⁰]÷3=(1024 - 1)÷3 = 341.∴S = 342.

答案：
(1)a² - b²　a³ - b³　a⁴ - b⁴
(2)aⁿ - bⁿ
(3)令S = 2⁹ - 2⁸+2⁷ - … + 2³ - 2²+2，
∴S - 1 = 2⁹ - 2⁸+2⁷ - … + 2³ - 2²+2 - 1=[2 - (- 1)](2⁹ - 2⁸+2⁷ - … + 2³ - 2²+2 - 1)÷3=[2¹⁰ - (- 1)¹⁰]÷3=(1024 - 1)÷3 = 341.
∴S = 342.

25. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读材料：教科书中提到$a^{2}+2ab+b^{2}和a^{2}-2ab+b^{2}$这样的式子叫做完全平方式。有些多项式不是完全平方式,我们可以通过添加项,凑成完全平方式,再减去这个添加项,使整个式子的值不变,这样也可以将多项式进行分解,并解决一些最值问题。
例如：(1)分解因式：$x^{2}-2x-3$。
$x^{2}-2x-3= x^{2}-2x+1-1-3= (x-1)^{2}-4= (x-1)^{2}-2^{2}= (x-1+2)(x-1-2)= (x+1)(x-3)$。
(2)求代数式$x^{2}-2x-3$的最小值。
$x^{2}-2x-3= x^{2}-2x+1-4= (x-1)^{2}-4$。
$\because (x-1)^{2}≥0$,$\therefore当x= 1$时,代数式$x^{2}-2x-3$有最小值-4。
结合以上材料解决下面的问题：
(1)若二次三项式$x^{2}-kx+9$恰好是完全平方式,k的值是____6或 - 6。
(2)分解因式：$x^{2}-8x+15$。
$x^{2}-8x+15=x^{2}-8x+4^{2}-1=(x - 4)^{2}-1=(x - 4)^{2}-1^{2}=(x - 4+1)(x - 4 - 1)=(x - 3)·(x - 5)$
(3)当x为何值时,$x^{2}-8x+15$有最小值？最小值是多少？
$x^{2}-8x+15=(x - 4)^{2}-1$，$\because (x - 4)^{2}≥0$，$\therefore$当$x = 4$时，代数式$x^{2}-8x+15$有最小值$-1$

答案：
(1)6或 - 6　[解析]
∵a²+2ab+b²和a² - 2ab+b²这样的式子叫做完全平方式，而x² - kx+9恰好是完全平方式，同时x² - kx+9可以整理为x² - kx+3²，
∴k = 6或 - 6.
(2)x² - 8x+15=x² - 8x+4² - 1=(x - 4)² - 1=(x - 4)² - 1²=(x - 4+1)(x - 4 - 1)=(x - 3)·(x - 5).
(3)x² - 8x+15=(x - 4)² - 1，
∵(x - 4)²≥0，
∴当x = 4时，代数式x² - 8x+15有最小值 - 1.