《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学人教版》

12. 如图,$AC$,$BD相交于点O$,$AC= BD$,$AB= CD$,写出图中两对相等的角____。

∠A=∠D,∠B=∠C

答案： ∠A=∠D,∠B=∠C

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,$AB= 10$,$CD= 4$,则$\triangle ABD$的面积是20。

答案： 20

14. 如图,一副含$30^{\circ}和45^{\circ}角的三角板ABC和EDF$拼合在一个平面上,边$AC与EF$重合,$AC= 12cm$。当点$E从点A出发沿AC$方向滑动时,点$F同时从点C出发沿射线BC$方向滑动。当点$E从点A滑动到点C$时,点$D$运动的路径长为____$cm$；连接$BD$,则$\triangle ABD$的面积最大值为____$cm^{2}$。

答案：
(24−12$\sqrt{2}$)　(24$\sqrt{3}$+36$\sqrt{2}$−12$\sqrt{6}$)　[解析]本题考查了轨迹、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式等知识.
∵AC=12cm,∠BAC=30°,∠DEF=45°,
∴BC=4$\sqrt{3}$cm,AB=8$\sqrt{3}$cm,ED=DF=6$\sqrt{2}$cm.
　如图
(1),当点E沿AC方向下滑时,得△E'D'F',过点D'作D'N⊥AC于点N,作D'M⊥BC于点M.
∴∠MD'N=90°,∠E'D'F'=90°.
∴∠E'D'N=∠F'D'M,∠D'NE'=∠D'MF'=90°,E'D'=D'F'.
∴△D'NE'≌△D'MF'(AAS).
∴D'N=D'M,D'N⊥AC,D'M⊥CM.
∴CD'平分∠ACM,即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动.
∴当ED'⊥AC时,DD'的值最大,最大值为$\sqrt{2}$ED−CD=(12−6$\sqrt{2}$)cm.
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为2×(12−6$\sqrt{2}$)=(24−12$\sqrt{2}$)cm.
　
　如图
(2),连接BD',AD'.
$∵S_{△AD'B}=S_{△ABC}+S_{△AD'C}-S_{△BD'C},$
$∴S_{△AD'B}$=$\frac{1}{2}$BC·AC+$\frac{1}{2}$AC·D'N−$\frac{1}{2}$BC·D'M=24$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$(12−4$\sqrt{3}$)D'N.
　当E'D'⊥AC时,D'N最大,
∴$S_{△AD'B}$的最大值为24$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$(12−4$\sqrt{3}$)×6$\sqrt{2}$=(24$\sqrt{3}$+36$\sqrt{2}$−12$\sqrt{6}$)cm².

15. 在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$BC= 4cm$,$\angle BAC的平分线交BC于点D$,且$BD:DC= 5:3$,则点$D到AB$的距离为____1.5cm。

答案： 1.5cm

16. 在$\triangle ABC$中,高$AD和BE交于点H$,且$BH= AC$,则$\angle ABC= $45°或135°。

答案： 45°或135°

17. 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是相等或互补。

答案： 相等或互补

18. 在数学活动课上,小明提出这样一个问题：$\angle B= \angle C= 90^{\circ}$,$E是BC$的中点,$DE平分\angle ADC$,$\angle CED= 35^{\circ}$,如图,则$\angle EAB$是多少度？大家一起热烈地讨论交流,小英第一个得出正确答案,是35°。

答案： 35°

19. 如图,点$D$,$E分别在AB$,$AC$上,$DE// BC$,$F是AD$上一点,$FE的延长线交BC的延长线于点G$。求证：
(1)$\angle EGH＞\angle ADE$；
(2)$\angle EGH= \angle ADE+\angle A+\angle AEF$。

答案：
(1)
∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B.又DE//BC,
∴∠B=∠ADE.
∴∠EGH＞∠ADE.
(2)
∵∠BFE是△AFE的外角，
∴∠BFE=∠A+∠AEF.
∵∠EGH是△BFG的外角，
∴∠EGH=∠B+∠BFE.
∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF.
　又DE//BC,
∴∠B=∠ADE.
∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.

20. (1)如图,在三角形纸片$ABC$中,$\angle A= 64^{\circ}$,$\angle B= 76^{\circ}$,将纸片的一角折叠,使点$C落在\triangle ABC$内部,折痕为$MN$。如果$\angle 1= 17^{\circ}$,求$\angle 2$的度数。
(2)小明在(1)的解题过程中发现$\angle 1+\angle 2= 2\angle C$,小明的这个发现对任意的三角形都成立吗？请说明理由。

答案：
(1)
∵∠A=64°,∠B=76°,
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−64°−76°=40°.
∵∠1=17°,
∴∠CNM=$\frac{180° - ∠1}{2}$=81.5°.
∴在△CMN中,∠CMN=180°−∠C−∠CNM=180°−40°−81.5°=58.5°.
∴∠2=180°−2∠CMN=180°−2×58.5°=63°.
(2)小明的这个发现对任意的三角形都成立.理由如下:
　由题意,得2∠CNM+∠1=180°,2∠CMN+∠2=180°.
∴2(∠CNM+∠CMN)+∠1+∠2=360°.
∵∠C+∠CNM+∠CMN=180°,
∴∠CNM+∠CMN=180°−∠C.
∴2(180°−∠C)=360°−(∠1+∠2).
∴∠1+∠2=2∠C.