《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

1. 用配方法解一元二次方程的思路：将方程转化为$(x+m)^{2}= n$的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当这个常数$n$____时,两边同时____,转化为一元一次方程,便可求出它的根。
2. 配方法：通过配成____的方法得到一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。

答案： 1. ≥0 开平方 2. 完全平方式

典例1 解方程：$\frac {1}{3}(2x-2)^{2}-16= 0$。
点拨 将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负数的形式,再根据平方根的定义求解。
解答：
解有所悟：用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。对形如$(mx+n)^{2}= p(m≠0且p≥0)$的一元二次方程,也可用直接开平方法求解,其根为$x= \frac {-n\pm \sqrt {p}}{m}$。

答案： 移项,得$\frac{1}{3}(2x-2)^2=16$.两边同乘3,得$(2x-2)^2=48$.两边开平方,得$2x-2=\pm4\sqrt{3}$,即$2x-2=4\sqrt{3}$或$2x-2=-4\sqrt{3}$,解得$x_1=1+2\sqrt{3}$,$x_2=1-2\sqrt{3}$.

典例2 用配方法解方程：
(1)(无锡中考)$x^{2}-2x-5= 0$；
(2)$3x^{2}-x-24= 0$。
点拨 (1)移项,将常数项移到方程的右边,再将左边配方,最后开平方,将方程转化为两个一元一次方程求解。(2)先将二次项系数化为1,再将常数项移到右边,然后将左边配方,最后通过开平方,将方程转化为两个一元一次方程求解。也可以在二次项系数化为1的基础上,先配方,再移项,最后开平方。
解答：
解有所悟：用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化1：将二次项的系数化为1；(2)移项：使二次项、一次项在方程的左边,常数项在方程的右边；(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方,从而把方程左边配成了一个完全平方式；(4)开平方：用开平方的方法解方程。

答案： （1）移项,得$x^2-2x=5$.配方,得$x^2-2x+1=5+1$,即$(x-1)^2=6$.两边开平方,得$x-1=\pm\sqrt{6}$.$\therefore x_1=1+\sqrt{6}$,$x_2=1-\sqrt{6}$.（2）两边同除以3,得$x^2-\frac{1}{3}x-8=0$.移项,得$x^2-\frac{1}{3}x=8$.配方,得$x^2-\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^2=8+\left(\frac{1}{6}\right)^2$,即$\left(x-\frac{1}{6}\right)^2=\left(\frac{17}{6}\right)^2$.两边开平方,得$x-\frac{1}{6}=\pm\frac{17}{6}$.$\therefore x_1=3$,$x_2=-\frac{8}{3}$.