《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

10. 某商店决定购进A,B两种纪念品.若购进A种纪念品10件,B种纪念品5件,需要1000元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品3件,需要550元.
(1) 求购进A,B两种纪念品每件的价格.
(2) 若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品,考虑市场需求,要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍,且购进B种纪念品的数量不少于20件,则该商店共有几种进货方案?
(3) 若销售每件A种纪念品可获利润20元,销售每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获得利润最大? 求出最大利润.

答案： （1）设该商店购进A种纪念品每件需a元,购进B种纪念品每件需b元.由题意,得{10a+5b=1000,5a+3b=550,解得{a=50,b=100.
∴该商店购进A种纪念品每件需50元,购进B种纪念品每件需100元.（2）设该商店购进A种纪念品x件,购进B种纪念品y件.根据题意,得50x+100y=10000,
∴x=200-2y.把x=200-2y代入x≥6y,解得y≤25.
∵y≥20,
∴20≤y≤25,且y为正整数.
∴y可取得的正整数值是20,21,22,23,24,25,与y相对应的x可取得的正整数值是160,158,156,154,152,150.
∴该商店共有6种进货方案.（3）设总利润为W元,则W=20x+30y=-10y+4000.
∵-10＜0,
∴W随y的增大而减小.
∴当y=20时,W有最大值,W最大=-10×20+4000=3800.
∴当购进A种纪念品160件,B种纪念品20件时,可获得最大利润,最大利润是3800元.

11. (龙东地区中考)为了迎接国庆节长假的购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.
答案讲解
甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
|运动鞋|甲|乙|
|进价/(元/双)|m|m-20|
|售价/(元/双)|240|160|
已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1) 求m的值.
(2) 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润= 售价-进价)不少于21700元,且不超过22300元,则该专卖店有几种进货方案?
(3) 在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a元$(50＜a＜70)$出售,乙种运动鞋价格不变.该专卖店要获得最大利润应如何进货?

答案： （1）依题意,得3000/m=2400/m-20,解得m=100.经检验,m=100是原分式方程的解,且符合题意．
∴m=100.（2)设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种运动鞋（200-x）双.根据题意,得{(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700,(240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300,解得95≤x≤105.
∵x是正整数,
∴该专卖店共有105-95+1=11(种)进货方案.（3）设总利润为W元，则W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16000(95≤x≤105).①当50＜a＜60时,60-a＞0,W随x的增大而增大,
∴当x=105时,W有最大值,即此时应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双．②当a=60时,60-a=0,W=16000．此时
(2)中所有方案获利都一样.③当60＜a＜70时．60-a＜0,W随x的增大而减小,
∴当x=95时,W有最大值,即此时应购进甲种运动鞋95双,购进乙种运动鞋105双.