《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

典例3 如图,在□ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.
(1) 求证：四边形ABEF是菱形；
(2) 若AE= 6,BF= 8,CE= 5,求四边形ABCD的面积.

点拨 (1) 先证明四边形ABEF是平行四边形,再证明邻边相等即可得证；(2) 过点F作FG⊥BC于点G,根据$S_{菱形ABEF}= \frac {1}{2}AE·BF= BE·FG,$求出FG的长即可解决问题.
解答：
解有所悟：由菱形的对角线互相垂直的性质,可得菱形的面积等于对角线乘积的一半. 进一步说,对角线互相垂直的四边形的面积都等于对角线乘积的一半. 此外,菱形也是平行四边形,其面积也等于底乘高,由此可利用等量关系“底×高= 对角线乘积的一半”巧解相关问题.

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC.
∴ ∠EBF=∠AFB.
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=∠CBF.
∴ ∠ABF=∠AFB.
∴ AB=AF.
∵ AE⊥BF，
∴ ∠AOB=∠EOB=90°.
∵ BO=BO，
∴ △BOA≌△BOE.
∴ AB=EB.
∴ EB=AF.
∵ BE//AF，
∴ 四边形ABEF是平行四边形.
∵ AB=AF，
∴ 四边形ABEF是菱形.（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G.
∵ 四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴ OE=$\frac{1}{2}$AE=3，OB=$\frac{1}{2}$BF=4.
∵ AE⊥BF，
∴ 在Rt△BOE中，BE=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵ $S_{菱形ABEF}$=$\frac{1}{2}$AE·BF=BE·FG，
∴ FG=$\frac{24}{5}$.
∴ $S_{□ ABCD}$=BC·FG=(BE+CE)·FG=(5+5)×$\frac{24}{5}$=48.

1. (河池中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 下列结论中,错误的是 ( )

A.AB= AD
B.AC⊥BD
C.AC= BD
D.∠DAC= ∠BAC

答案： C

2. (河南中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为CD的中点. 若OE= 3,则菱形ABCD的周长为 ( )

A.6
B.12
C.24
D.48

答案： C

3. (襄阳中考)如图,□ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是 ( )

A.若OB= OD,则□ABCD是菱形
B.若AC= BD,则□ABCD是菱形
C.若OA= OD,则□ABCD是菱形
D.若AC⊥BD,则□ABCD是菱形

答案： D

4. 如图,O既是AB的中点,又是CD的中点,并且AB⊥CD. 连接AC,BC,AD,BD,则这四条线段的大小关系是 ( )

A.全相等
B.互不相等
C.只有两条相等
D.无法确定

答案： A