《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

10.(齐齐哈尔中考)如图,在四边形 ABCD 中,$AC⊥BD$,垂足为 O,$AB// CD$,要使四边形 ABCD 为菱形,添加的条件是______(写出一个即可).

答案： 答案不唯一,如AB=CD

11. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC= 4$,$∠CAB= 30^{\circ}$,以 AC 为斜边作$Rt△ADC$,使$∠ADC= 90^{\circ}$,$∠CAD= ∠CAB$,E,F 分别是 BC,AC 的中点,连接 EF,DE,DF,则 DE 的长为______.

答案： $2\sqrt{2}$

12. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,$AC= 6$,$DB= 8$,则点 A 到 BC 的距离为______.

答案： $\frac{24}{5}$

13.(益阳中考)如图,将边长为 3 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 平移到正方形$A'B'C'D'$的位置,使点 A 的对应点$A'满足AA'= \frac{1}{3}AC$,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是______.

答案： 4

14. 如图,在$△ABC$中,AC 的垂直平分线分别交 AC,AB 于点 D,F,$BE⊥DF$交 DF 的延长线于点 E. 若$∠A= 30^{\circ}$,$BC= 2$,$AF= BF$,则四边形 BCDE 的面积是______.

答案： $2\sqrt{3}$

15.(无锡中考)如图,正方形 ABCD 的边长为 8,E 是 CD 的中点,HG 垂直平分 AE,且分别交 AE,BC 于点 H,G,则$BG= $______.

答案： 1

16.(枣庄中考)如图,$∠BOD= 45^{\circ}$,$BO= DO$,点 A 在 OB 上,四边形 ABCD 是矩形,连接 AC,BD 交答案讲解于点 E,连接 OE 交 AD 于点 F. 有下列结论：①$OE⊥BD$；②$∠ADB= 30^{\circ}$；③$DF= \sqrt{2}AF$；④若 G 是线段 OF 的中点,则$△AEG$为等腰直角三角形. 其中,正确的是______(填序号).

答案： ①③④

17.(6 分)(青海中考)如图,四边形 ABCD 为菱形,E 为对角线 AC 上的一个动点(不与点 A,C 重合),连接 DE 并延长,交射线 AB 于点 F,连接 BE. 求证：
(1)$△DCE≌△BCE$；
(2)$∠AFD= ∠EBC$.

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=CB，∠DCE=∠BCE.
∵ CE=CE，
∴ △DCE≌△BCE. （2）
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DC//AF.
∴ ∠CDF=∠AFD. 由（1），得△DCE≌△BCE，
∴ ∠EDC=∠EBC.
∴ ∠AFD=∠EBC.