《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

21.(10 分)阅读下面的材料：
在因式分解中,把多项式中某些部分看成一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。
下面是小涵同学用换元法对多项式 $(x^{2}-4x + 1)(x^{2}-4x + 7)+9$ 进行因式分解的过程。
解：设 $x^{2}-4x = y$。
原式 $=(y + 1)(y + 7)+9$(第一步)
$=y^{2}+8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$(第四步)。
请根据材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了( )
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 完全平方公式
(2)老师说小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果：____。
(3)请你用换元法对多项式 $(x^{2}+2x)\cdot(x^{2}+2x + 2)+1$ 进行因式分解。

答案： （1）C.（2）(x-2)⁴.（3）设x²+2x=y.原式=y(y+2)+1=y²+2y+1=(y+1)²=(x²+2x+1)²=(x+1)⁴.

22.(10 分)阅读材料：
若 $m^{2}-2mn + 2n^{2}-10n + 25 = 0$,求 $m$,$n$ 的值。
解：$\because m^{2}-2mn + 2n^{2}-10n + 25 = 0$,
$\therefore (m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-10n + 25)= 0$。
$\therefore (m - n)^{2}+(n - 5)^{2}= 0$。
$\therefore m - n = 0$,$n - 5 = 0$。
$\therefore n = 5$,$m = 5$。
根据你的观察,探究下列问题：
(1)已知 $x^{2}+4xy + 5y^{2}+4y + 4 = 0$,求 $x^{y}$ 的值；
(2)已知 $\triangle ABC$ 的三边长 $a$,$b$,$c$ 都是正整数,且 $a$,$b$ 满足 $a^{2}+b^{2}-14a - 16b + 113 = 0$,求 $\triangle ABC$ 的周长的最大值；
(3)已知 $\triangle ABC$ 的三边长是 $a$,$b$,$c$,且满足 $a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a + c)= 0$,试判断 $\triangle ABC$ 是什么特殊的三角形,并说明理由。

答案： （1）
∵x²+4xy+5y²+4y+4=0，
∴(x²+4xy+4y²)+(y²+4y+4)=0，即(x+2y)²+(y+2)²=0.
∴x+2y=0，y+2=0.
∴x=4，y=-2.
∴xʸ=4⁻²=1/16.（2）
∵a²+b²-14a-16b+113=0，
∴(a²-14a+49)+(b²-16b+64)=0，即(a-7)²+(b-8)²=0.
∴a-7=0，b-8=0，解得a=7，b=8.由三角形的三边关系，可知1＜c＜15，且c为正整数，
∴c的最大值为14.
∴△ABC的周长的最大值为29.（3）△ABC是等边三角形.理由：
∵a²+2b²+c²-2b(a+c)=0，
∴(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)=0.
∴(a-b)²+(b-c)²=0.
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.