《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

11. 先化简,再求值：$(\frac {2}{m}-\frac {1}{n})÷(\frac {m^{2}+n^{2}}{mn}-\frac {5n}{m})\cdot (\frac {m}{2n}+\frac {2n}{m}+2)$,其中$m,n满足\sqrt {m+1}+(n-3)^{2}= 0$。

答案： 原式$=\frac{2n-m}{mn}÷\frac{m^{2}+n^{2}-5n^{2}}{mn}\cdot \frac{m^{2}+4n^{2}+4mn}{2mn}=\frac{2n-m}{mn}\cdot \frac{mn}{(m+2n)(m-2n)}\cdot \frac{(m+2n)^{2}}{2mn}=-\frac{m+2n}{2mn}.\because \sqrt{m+1}+(n-3)^{2}=0,\therefore m+1=0,n-3=0.\therefore m=-1,n=3.\therefore$原式$=-\frac{-1+2×3}{2×(-1)×3}=\frac{5}{6}.$

12. 先化简,再求值：$\frac {a^{2}-6ab+9b^{2}}{a^{2}-2ab}÷(\frac {5b^{2}}{a-2b}-a-2b)-\frac {1}{a}$,其中$a,b满足\left\{\begin{array}{l} a+b= 8,\\ a-b= 1.\end{array} \right.$

答案： 【解析】：
本题可先对原式进行化简，再求解方程组得到$a$、$b$的值，最后代入化简后的式子求值。
步骤一：化简原式
对分子$a^{2}-6ab + 9b^{2}$，根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得$a^{2}-6ab + 9b^{2}=(a - 3b)^{2}$。
对$a^{2}-2ab$提取公因式$a$，可得$a^{2}-2ab=a(a - 2b)$。
对$\frac {5b^{2}}{a - 2b}-a - 2b$进行通分，$\frac {5b^{2}}{a - 2b}-(a + 2b)=\frac {5b^{2}}{a - 2b}-\frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a - 2b}$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$\frac {5b^{2}-(a^{2}-4b^{2})}{a - 2b}=\frac {9b^{2}-a^{2}}{a - 2b}$，再根据平方差公式进一步变形为$\frac {(3b + a)(3b - a)}{a - 2b}$。
则原式可化为$\frac {(a - 3b)^{2}}{a(a - 2b)}÷\frac {(3b + a)(3b - a)}{a - 2b}-\frac {1}{a}$。
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得$\frac {(a - 3b)^{2}}{a(a - 2b)}×\frac {a - 2b}{(3b + a)(3b - a)}-\frac {1}{a}$。
因为$3b - a=-(a - 3b)$，所以$\frac {(a - 3b)^{2}}{a(a - 2b)}×\frac {a - 2b}{(3b + a)[-(a - 3b)]}-\frac {1}{a}=-\frac {a - 3b}{a(a + 3b)}-\frac {1}{a}$。
通分可得$-\frac {a - 3b}{a(a + 3b)}-\frac {a + 3b}{a(a + 3b)}=\frac {-(a - 3b)-(a + 3b)}{a(a + 3b)}=\frac {-a + 3b - a - 3b}{a(a + 3b)}=-\frac {2}{a + 3b}$。
步骤二：求解方程组$\begin{cases}a + b = 8\\a - b = 1\end{cases}$
将两个方程相加可得：$(a + b)+(a - b)=8 + 1$，即$2a = 9$，解得$a = \frac {9}{2}$。
把$a = \frac {9}{2}$代入$a + b = 8$，可得$\frac {9}{2}+b = 8$，解得$b = 8 - \frac {9}{2}=\frac {7}{2}$。
步骤三：代入求值
把$a = \frac {9}{2}$，$b = \frac {7}{2}$代入$-\frac {2}{a + 3b}$，可得$-\frac {2}{\frac {9}{2}+3×\frac {7}{2}}=-\frac {2}{\frac {9 + 21}{2}}=-\frac {2}{\frac {30}{2}}=-\frac {2}{15}$。
【答案】：
解：原式$=\frac {(a - 3b)^{2}}{a(a - 2b)}÷\frac {(3b + a)(3b - a)}{a - 2b}-\frac {1}{a}$
$=\frac {(a - 3b)^{2}}{a(a - 2b)}×\frac {a - 2b}{(3b + a)(3b - a)}-\frac {1}{a}$
$=-\frac {a - 3b}{a(a + 3b)}-\frac {1}{a}$
$=\frac {-(a - 3b)-(a + 3b)}{a(a + 3b)}$
$=-\frac {2}{a + 3b}$
解方程组$\begin{cases}a + b = 8\\a - b = 1\end{cases}$，两式相加得$2a = 9$，$a = \frac {9}{2}$，把$a = \frac {9}{2}$代入$a + b = 8$得$b = \frac {7}{2}$。
把$a = \frac {9}{2}$，$b = \frac {7}{2}$代入$-\frac {2}{a + 3b}$得：
$-\frac {2}{\frac {9}{2}+3×\frac {7}{2}}=-\frac {2}{15}$
∴原式$=-\frac {2}{15}$。

13. (达州中考)先化简,再求值：$(1-\frac {3a-10}{a-2})÷\frac {a-4}{a^{2}-4a+4}$,其中$a与2,3$是三角形的三边长,且$a$为整数。

答案： 原式$=\frac{a-2-3a+10}{a-2}\cdot \frac{(a-2)^{2}}{a-4}=\frac{-2(a-4)}{a-2}\cdot \frac{(a-2)^{2}}{a-4}=-2(a-2)=-2a+4.\because a$与2,3是三角形的三边长,$\therefore3-2\lt a\lt3+2$,即$1\lt a\lt5.\because a$整数,$\therefore a=2$或$a=3$或$a=4$.又$\because a≠0$且$a-4≠0,\therefore a≠2$且$a≠4.\therefore a=3.\therefore$原式$=-2×3+4=-=-2.$

14. (广元中考)先化简,再求值：$\frac {2}{x^{2}+x}÷(1-\frac {x-1}{x^{2}-1})$,其中$x是不等式组\left\{\begin{array}{l} 2(x-1)\lt x+1,\\ 5x+3≥2x\end{array} \right.$的整数解。

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的化简求值以及不等式组的求解。
首先，我们需要对给定的分式进行化简。化简的过程中，需要注意运算的优先级和分式的运算法则。
然后，我们需要求解给定的不等式组，找出其整数解。
最后，我们将不等式组的整数解代入化简后的分式中，求出其值。
1. 对分式进行化简：
$\frac {2}{x^{2}+x} ÷ \left(1-\frac {x-1}{x^{2}-1}\right)$
$= \frac {2}{x(x+1)} ÷ \left(\frac {x^{2}-1}{x^{2}-1} - \frac {x-1}{x^{2}-1}\right)$
$= \frac {2}{x(x+1)} ÷ \frac {x^{2}-x}{x^{2}-1}$
$= \frac {2}{x(x+1)} \cdot \frac {x^{2}-1}{x^{2}-x}$
$= \frac {2}{x(x+1)} \cdot \frac {(x+1)(x-1)}{x(x-1)}$
$= \frac {2}{x^{2}}$
2. 求解不等式组：
对于不等式 $2(x-1) \lt x+1$，解得 $x \lt 3$。
对于不等式 $5x+3 \geq 2x$，解得 $x \geq -1$。
因此，不等式组的解集为 $-1 \leq x \lt 3$。
3. 确定$x$的取值：
由于分式的分母不能为0，所以 $x \neq 0$，$x \neq \pm 1$。
结合不等式组的解，我们得到 $x$ 的可能取值为 $2$（注意 $x$ 必须是整数）。
4. 代入求值：
当 $x = 2$ 时，原式 $= \frac {2}{2^{2}} = \frac {1}{2}$。
【答案】：
$\frac{1}{2}$