《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

1. 正方形的定义：有一组邻边____,并且有一个角是____的____叫做正方形。
2. 正方形的性质：
(1)正方形的四个角都是____,四条边____。
(2)正方形的对角线____且互相____。
3. 正方形的判定：
(1)有一组邻边____的矩形是正方形。
(2)对角线互相____的矩形是正方形。
(3)有一个角是____的菱形是正方形。
(4)对角线____的菱形是正方形。

答案： 1. 相等　直角　平行四边形　2.
(1)直角　相等　
(2)相等　垂直平分　3.
(1)相等　
(2)垂直　
(3)直角　
(4)相等

典例1(雅安中考)如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE= DF。
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AB= 3√2,BE= 2,求四边形AECF的面积。

点拨(1)根据正方形的性质得出AB= CD,∠ABE= ∠CDF= 45°,再利用SAS即可证明结论；(2)由正方形的性质,可以判断四边形AECF是菱形,再利用菱形的面积公式“对角线乘积的一半”进行计算。
解答：
解有所悟：正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的菱形和矩形,因此正方形具有这三种图形的所有性质。同时正方形的特殊角、轴对称性、中心对称性及旋转对称的性质也经常会用到。

答案：

(1)
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF=45°.又
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
(2)如图,连接AC,交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,AB=BC,AO=CO,BO=DO.又
∵BE=DF,
∴OE=OF.
∴四边形AECF 是平行四边形.
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
∵AB=3$\sqrt{2}$，
∴AC= $\sqrt{AB²+BC²}$=6=BD.
∵BE=DF=2,
∴EF=2.
∴四边形AECF的面积=$\frac{1}{2}$AC·EF=$\frac{1}{2}$×6×2=6.
　　　　　　　　

典例2如图①,等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心,点C,D分别在OE和OF上。现将△OEF绕点O按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°),连接AF,DE(如图②)。
(1)在图②中,∠AOF= ____(用含α的式子表示)；
(2)在图②中,猜想AF与DE的数量关系,并证明你的结论。

点拨(1)正方形的对角线互相垂直,再结合旋转的性质即可求解。(2)由图形可猜想AF= DE。由正方形的对角线相等且互相垂直平分的性质,易证△AOF≌△DOE,进而证明猜想成立。
解答：
解有所悟：正方形绕其中心每旋转90°便与自身重合,也就是说正方形是旋转对称图形,旋转中心是两条对角线的交点(中心对称图形是特殊的旋转对称图形)。过旋转中心的每组互相垂直的直线将正方形分成的四部分全等,若直角三角形的直角顶点在旋转中心上,另两顶点在正方形外,则直角三角形无论怎样旋转,其与正方形重叠部分的面积恒为正方形面积的1/4。

答案：
(1)90°−α.
(2)AF=DE.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD=∠COD=90°,AC=BD,OA=$\frac{1}{2}$AC,OD=$\frac{1}{2}$BD.
∴OA=OD.
∵∠DOF=∠COE=α,
∴∠AOD−∠DOF=∠COD−∠COE,即∠AOF=∠DOE.
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴OF=OE.在△AOF和△DOE中，$\begin{cases}OA = OD\\∠AOF = ∠DOE\\OF = OE\end{cases}$，
∴△AOF≌△DOE.
∴AF=DE.