《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

16. 如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若$AP= 6,BP= 8,CP= 10$,则$S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BPC}= $______.

答案： 16√3 + 24　解析:如图,将△BPC绕点B按逆时针方向旋转60°后得△BP'A,连接PP'.根据旋转的性质，可知旋转角∠PBP' = ∠CBA = 60°,BP = BP',
∴△BPP'为等边三角形.
∴BP' = BP = 8 = PP'.过点P作PD⊥BP'于点D.
∵PP' = BP,
∴BD = 1/2BP' = 4.
∵PD⊥BP',
∴∠PDB = 90°.
∴在Rt△PDB中,由勾股定理,得PD = √(BP² - BD²) = 4√3.由旋转的性质，得AP' = PC = 10.在△APP'中,
∵PP'² + AP² = 8² + 6² = 100 = AP'²,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP' = 90°.
∴S△ABP + S△BPC = S四边形AP'BP = S△BP'P + S△AP'P = 1/2BP'·PD + 1/2PP'·AP = 1/2×8×4√3 + 1/2×8×6 = 16√3 + 24.

17. (8分)分解因式：
(1)$(x+2)(x+3)+\frac {1}{4}$；
(2)(内江中考)$a^{4}-3a^{2}-4$.

答案：
(1)原式=(x + 5/2)².
(2)原式=(a² + 1)(a + 2)(a - 2).

18. (8分)(凉山中考)先化简,再求值：$(m+2+\frac {5}{2-m})\cdot \frac {2m-4}{3-m}$,其中m为满足$-1\lt m＜4$的整数.

答案： 原式=(m² - 4 - 5)/(m - 2)·2(m - 2)/(3 - m)=(m² - 9)/(m - 2)·2(m - 2)/(3 - m)=((m + 3)(m - 3))/(m - 2)·2(m - 2)/(3 - m)= - 2(m + 3)= - 2m - 6.由题意,得m≠2,m≠3,且m为满足 - 1 ＜ m ＜ 4的整数,
∴当m = 0时,原式 = - 6;当m = 1时,原式 = - 2×1 - 6 = - 8.

19. (10分)(达州中考)某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用4000元购进一批这种衬衫,面市后果然供不应求.商场又用8800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每件的进价贵了4元.
(1)该商场购进第一批、第二批衬衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批衬衫按相同的标价销售,最后40件衬衫按7折优惠销售,要使两批衬衫全部销售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元？

答案：
(1)设该商场购进第一批、第二批衬衫每件的进价分别是x元和(x + 4)元.根据题意，可得2×4000/x = 8800/(x + 4),解得x = 40.经检验,x = 40是原分式方程的解，且符合题意.
∴x + 4 = 44.
∴该商场购进第一批、第二批衬衫每件的进价分别是40元和44元.
(2)衬衫的总数量是4000/40 + 8800/44 = 300(件).设每件衬衫的标价是y元.根据题意，可得(300 - 40)y + 40×0.7y ≥ (4000 + 8800)×(1 + 80%),解得y ≥ 80.
∴每件衬衫的标价至少是80元.

20. (10分)某市某中学举行“校园好声音”歌手大赛,初、高中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加决赛.两队各选出的5名选手的决赛成绩(满分为100分)如图所示.

| | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 |
| 初中代表队 | | 85 | |
| 高中代表队 | 85 | | 100 |

(1)将表格补充完整；
(2)结合两个代表队决赛成绩的平均数和中位数,分析哪个代表队的决赛成绩较好；
(3)计算两个代表队决赛成绩的方差,并判断哪个代表队选手的决赛成绩较为稳定.

答案：
(1)85;85;80.
(2)初中代表队的决赛成绩较好.
∵两个代表队决赛成绩的平均数相同,初中代表队的中位数高,
∴在平均数相同的情况下,中位数高的初中代表队的决赛成绩较好.
(3)
∵s²初中 = 1/5×[(75 - 85)²+(80 - 85)²+(85 - 85)²+(85 - 85)²+(100 - 85)²]=70,s²高中 = 1/5×[(70 - 85)²+(100 - 85)²+(100 - 85)²+(75 - 85)²+(80 - 85)²]=160,
∴s²初中 ＜ s²高中,即初中代表队选手的决赛成绩较为稳定.