《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

19. (6分)如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$\triangle ACE$是等腰三角形,$\angle AEC = 120^{\circ}$,$AE = CE$,$F为BC$的中点,连接$AF$.
(1)$\angle BAE$的度数为______;
(2)判断$AF与CE$之间的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)90°.　解析:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°.
∵AE=CE,∠AEC=120°,
∴∠EAC=∠ECA=30°.
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=90°.
(2)AF//CE.理由:
∵F为BC的中点，
∴BF=CF.
∵AB=AC,BF=CF,
∴AF⊥BC.
∵∠ACB=60°,∠ACE=30°,
∴∠BCE=90°.
∴EC⊥BC.
∴易得AF//CE.

20. (6分)如图,$\angle AOB = 60^{\circ}$,点$P在边OA$上,点$M$,$N在边OB$上,连接$PM$,$PN$.
(1)若$\angle PNO = 60^{\circ}$,求证:$\triangle PON$是等边三角形;
(2)若$PM = PN$,$OP = 12$,$MN = 2$,求$OM$的长.

答案：

(1)
∵∠AOB=60°,∠PNO=60°,
∴∠OPN=60°.
∴∠PON=∠PNO=∠OPN.
∴△PON是等边三角形.
(2)如图,过点P作PH⊥MN于点H.
∵PM=PN,
∴MH=NH=1/2MN=1.在Rt△POH中,
∵∠POH=60°,
∴∠OPH=30°.
∴OH=1/2OP=1/2×12=6.
∴OM=OH - MH=6 - 1=5.
　　　　　　　　

21. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,点$P在AC$上运动,点$D在AB$上运动,$PD始终保持与PA$相等,$BD的垂直平分线交BC于点E$,交$BD于点F$,连接$DE$.
(1)判断$DE与DP$的位置关系,并说明理由;
(2)若$AC = 3$,$BC = 4$,$PA = 1$,求线段$DE$的长.

答案：
(1)DE⊥DP.理由:
∵PD=PA,
∴∠A=∠PDA.
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED.
∴∠B=∠EDB.
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∴∠PDA+∠EDB=90°.
∴∠PDE=180° - 90°=90°.
∴DE⊥DP.
(2)连接PE.设DE=x,则EB=ED=x,CE=4 - x.
∵AC=3,PA=1,
∴PC=AC - PA=2.
∵∠C=∠PDE=90°,
∴PC²+CE²=PE²=PD²+DE².
∴2²+(4 - x)²=1²+x²,解得x=19/8,则DE=19/8.

22. (7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 9$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD是\triangle ABC$的中线,$AE是\angle BAD$的平分线,$DF // AB交AE的延长线于点F$,求$DF$的长.

答案：
∵AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=1/2×120°=60°.
∴∠ADB=90°.
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE=1/2∠BAD=1/2×60°=30°.
∵DF//AB,
∴∠F=∠BAE=30°.
∴∠DAE=∠F=30°.
∴AD=DF.
∵∠B=90° - 60°=30°,
∴AD=1/2AB=1/2×9=4.5.
∴DF=4.5.