《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

20.(6分)已知关于$x的方程\frac {m+2}{x+2}+\frac {m}{x-1}= \frac {1-m}{(x+2)(x-1)}$.
(1)当$m$为何值时,方程有增根？
(2)当$m$为何值时,方程无解？

答案：
(1)方程两边都乘(x+2)(x-1),得(m+2)(x-1)+m(x+2)=1−m.整理,得(2m+2)x=3−2m.从最简公分母(x+2)(x-1)来看,原方程的增根只可能是x=−2或x=1.若增根是x=−2,把x=−2代入(2m+2)x=3−2m,得−4m−4=3−2m,解得m=−72;若增根是x=1,把x=1代入(2m+2)x=3−2m,得2m+2=3−2m,解得m=14.综上所述,当m=−72或14时,方程有增根.
(2)由
(1),知当m=−72或14时,原分式方程无解.由(2m+2)x=3−2m,可知当m=−1时,此方程无解,原分式方程也无解.
∴ 当m=−72或14或−1时,分式方程无解.

21.(6分)甲、乙两人两次同时在一家粮店购买大米,两次大米的价格分别为每千克$a元和每千克b元(a≠b)$.甲每次购买100千克大米,乙每次购买100元大米.
(1)用含$a,b$的代数式表示：甲两次购买大米共需付款____元,乙两次共购买____千克大米.若甲两次购买大米的平均价格为每千克$Q_{1}$元,乙两次购买大米的平均价格为每千克$Q_{2}$元,则$Q_{1}= $____,$Q_{2}= $____.
(2)若规定两次购买大米谁的平均价格低,谁购买的方式就更合理,请你判断甲、乙两人谁的购买方式更合理,并说明理由.

答案：
(1)100(a+b);(100a+100b);a+b2;2aba+b.
(2)乙的购买方式更合理.理由:
∵ Q1−Q2=a+b2−2aba+b=(a−b)22(a+b),a≠b,
∴ Q1−Q2＞0.
∴ Q1＞Q2,即乙的购买方式更合理.

22.(6分)(菏泽中考)某健身器材店计划购进一批篮球和排球,已知每个篮球的进价是每个排球进价的1.5倍.若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个.
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元？
(2)该健身器材店决定用不多于28000元的资金购进篮球和排球共300个进行销售,最多可以购进多少个篮球？

答案：
(1)设排球的进价为每个x元,则篮球的进价为每个1.5x元.依题意,得3200x−36001.5x=10,解得x=80.经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.
∴ 1.5x=1.5×80=120.
∴ 篮球的进价为每个120元,排球的进价为每个80元.
(2)设购进m个篮球,则购进(300−m)个排球.依题意,得120m+80(300−m)≤28000,解得m≤100.
∴最多可以购进100个篮球.

23.(8分)(包头中考)小刚家到学校的距离是1800m.某天早上,小刚到学校后发现作业本忘在家中,此时离上课还有20min,于是他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车的时间比跑步时间少用了4.5min,且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.
(1)求小刚跑步的平均速度.
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3min,那么他能否在上课前赶回学校？请说明理由.

答案：
(1)设小刚跑步的平均速度为x m/min,则小刚骑自行车的平均速度为1.6x m/min.根据题意,得18001.6x+4.5=1800x,解得x=150.经检验,x=150是的列方程的解,且符合题意
∴小刚跑步的平均速度为150m/min.
(2)他不能在上课前赶回学校理由由
(1),得小刚跑步的平均速度为150m/min,则小刚跑步所用时间为1800÷150=12(min),骑自行车所用时间为12−45=75(min).
∵在家取作业本取自行车共用了3min,
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3=22.5(min).
∵22.5＞20,
∴他不能在上课前赶回学校.