《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

23.(8分)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AD = 5$,$BC = 9$,$M是CD$的中点,$P是边BC$上的一动点(不与点$B$,$C$重合).连接$PM$并延长,交$AD的延长线于点Q$,连接$PD$,$QC$.
(1)求证：无论点$P$在何位置,四边形$PCQD$始终是平行四边形；
(2)当点$P在点B$,$C$之间运动到什么位置时,四边形$ABPQ$是平行四边形？

答案：
(1)
∵AD//BC,
∴∠QDM = ∠PCM.
∵M是CD的中点，
∴DM = CM.又
∵∠DMQ = ∠CMP,
∴△QDM≌△PCM.
∴DQ = CP.
∵AD//BC,
∴四边形PCQD是平行四边形.
∴无论点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形.
(2)当四边形ABPQ是平行四边形时,PB = AQ,即BC - CP = AD + DQ.由
(1),得DQ = CP,
∴9 - CP = 5 + CP.
∴CP = 2.
∴当PC = 2时，四边形ABPQ是平行四边形.

24.(8分)如图,四边形$ABCD$为平行四边形,$E为AD$上的一点,连接$EB并延长至点F$,使$BF = BE$,连接$EC并延长至点G$,使$CG = CE$,连接$FG$.$H为FG$的中点,连接$DH$,$AF$.
(1)求证：四边形$AFHD$为平行四边形；
(2)若$CB = CE$,$\angle EBC = 75^{\circ}$,$\angle DCE = 10^{\circ}$,求$\angle DAB$的度数.

答案：
(1)
∵BF = BE,CG = CE,
∴BC为△FEG的中位线.
∴BC//FG,BC = $\frac{1}{2}$FG.
∵H为FG的中点，
∴FH = $\frac{1}{2}$FG.
∴BC = FH.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,AD = BC.
∴AD//FH,AD = FH.
∴四边形AFHD为平行四边形.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB = ∠DCB.
∵CB = CE,
∴∠BEC = ∠EBC = 75°,
∴∠BCE = 180° - 75° - 75° = 30°.
∴∠DCB = ∠DCE + ∠BCE = 10° + 30° = 40°.
∴∠DAB = 40°.