《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

6.(常州中考)如图,点$A在射线OX$上,$OA= a$。如果$OA绕点O按逆时针方向旋转n^{\circ}$($0\lt n\leqslant360$)到$OA'$,那么点$A'的位置可以用(a,n^{\circ})$表示。
(1)按上述表示方法,若$a= 3$,$n= 37$,则点$A'$的位置可以表示为______。
(2)在(1)的条件下,若点$B的位置用(3,74^{\circ})$表示,连接$A'A$,$A'B$。求证：$A'A= A'B$。

答案：
(1)(3,37°).
(2)如图.
∵A'(3,37°),B(3,74°),
∴∠AOA'=37°,∠AOB=74°,OA=OA'=OB=3.
∴∠A'OB=∠AOB−∠AOA'=74°−37°=37°.
∵OA'=OA',
∴△AOA'≌△BOA'.
∴A'A=A'B.

7. 思想方法 类比法 如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$P为\triangle ABC$内一点,连接$PA$,$PB$,$PC$。求$PA+PB+PC$的最小值。
小慧以点$A$为旋转中心,将$\triangle ABP按顺时针方向旋转60^{\circ}得到\triangle ANM$,连接$PM$,就将$PA+PB+PC的值转化为PM+MN+PC$的值,连接$CN交AB于点Q$,当点$P落在CN$上时,此题可解。
请你参考小慧的思路在图②中证明$PA+PB+PC= PM+MN+PC$,并计算当$AC= BC= 4$时,$PA+PB+PC$的最小值。

答案： 如图,以点A为旋转中心,将△ABP按顺时针方向旋转60°得到△ANM,连接BN,PM.由旋转,得MN=PB,MA=PA,∠PAM=∠BAN=60°,AN=AB.
∴△PAM,△ABN都是等边三角形.
∴AN=BN,PA=PM.
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC.在Rt△ABC中,当AC=BC=4时,易得AB=4$\sqrt{2}$.
∴AN=4$\sqrt{2}$.当C,P,M,N四点在同一条直线上时,PA+PB+PC的值最小.连接CN交AB于点Q.由AC=BC,AN=BN,可得CN垂直平分AB,
∴AQ=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$.
∴在Rt△AQN中,由勾股定理,得NQ=$\sqrt{AN^{2}-AQ^{2}}$=2$\sqrt{6}$;在Rt△CQA中,由勾股定理,得CQ=$\sqrt{AC^{2}-AQ^{2}}$=2$\sqrt{2}$.
∴CN=CQ+NQ=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$.
∴PA+PB+PC的最小值为2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$.

8.(黔西南中考)如图,$D为等边三角形ABC$内一点,将线段$AD绕点A按逆时针方向旋转60^{\circ}得到AE$,连接$CE$,$BD$,$BD的延长线与AC交于点G$,与$CE交于点F$。
(1)求证：$BD= CE$。
(2)连接$FA$,小颖对该图形进行探究,得出结论：$\angle BFC= \angle AFB= \angle AFE$。小颖的结论是否正确？若正确,请给出证明；若不正确,请说明理由。

答案：
(1)
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE,
∴AD=AE,∠DAE=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∴∠BAC=∠DAE.
∴易得∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE},
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE.
(2)结论正确.如图,过点A作BD,CF的垂线，分别交BD,CF的延长线于点M,N.
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.又
∵∠AGB=∠CGF,
∴∠BFC=∠BAC=60°.
∴∠BFE=120°.
∵△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,S△ABD=S△ACE.
∴$\frac{1}{2}$BD·AM=$\frac{1}{2}$CE·AN.
∴AM=AN.在Rt△AFM和Rt△AFN中,{AF=AF,AM=AN},
∴Rt△AFM≌Rt△AFN.
∴∠AFM=∠AFN=60°.
∴∠BFC=∠AFB=∠AFE.