《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

8. 已知$a= b+2$,则代数式$3a^{2}-6ab+3b^{2}+2022$的值为( )

A.2020
B.2024
C.2021
D.2034

答案： 8.D

9. 已知$x-y= 3$,$y-z= 2$,$x+z= 4$,则代数式$x^{2}-z^{2}$的值是( )

A.9
B.18
C.20
D.24

答案： 9.C

10. $^{\star}若x^{2}-3x+2= 0$,则$x^{3}-x^{2}-4x+10$的值是( )

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： 10.A

11. 如果$a$,$b$互为相反数,那么$a^{2}(3x+2y)-b^{2}(2y+3x)$的值是______.

答案： 11.0

12. 已知$x+y= 3$,$xy= 2$,则$2x^{3}y+4x^{2}y^{2}+2xy^{3}$的值为______.

答案： 12.36 解析：
∵x+y=3，xy=2，
∴2x³y+4x²y²+2xy³=2xy(x²+2xy+y²)=2xy(x+y)²=2×2×3²=36.

13. 已知$2x-3= \sqrt{5}$,求代数式$(2x+1)^{2}-8(2x+1)+16$的值.

答案： 13.(2x+1)²-8(2x+1)+16=(2x+1-4)²=(2x-3)².当2x-3=√5时，原式=(√5)²=5.

14. 利用因式分解,求证：$(n+5)^{2}-(n-1)^{2}$能被12整除($n$是正整数).

答案： 14.
∵(n+5)²-(n-1)²=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+2)，又
∵n是正整数，
∴(n+5)²-(n-1)²能被12整除.

15. 若$\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c满足a^{4}+b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2}-b^{4}= 0$,请判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 15.
∵a⁴+b²c²-a²c²-b⁴=0，
∴(a⁴-b⁴)+(b²c²-a²c²)=0.
∴(a²+b²)(a²-b²)-c²(a²-b²)=0.
∴(a²-b²)(a²+b²-c²)=0.
∴(a+b)(a-b)(a²+b²-c²)=0.
∵a+b≠0，
∴a-b=0或a²+b²-c²=0.
∴a=b或a²+b²=c².
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.

16. 求证：不论$x$取何实数,多项式$-2x^{4}+12x^{3}-18x^{2}$的值都不会是正数.

答案： 16.-2x⁴+12x³-18x²=-2x²(x²-6x+9)=-2x²(x-3)².
∵-2x²≤0，(x-3)²≥0，
∴-2x²(x-3)²≤0.
∴不论x取何实数，多项式-2x⁴+12x³-18x²的值都不会是正数.