《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

22.(8 分)如图,在以 $BC$ 为底边的等腰三角形 $ABC$ 中,点 $D$,$E$,$G$ 分别在 $BC$,$AB$,$AC$ 上,且 $EG // BC$,$DE // AC$,延长 $GE$ 至点 $F$,使得 $BF = BE$,连接 $DF$ 交 $AB$ 于点 $O$.
(1)求证：四边形 $BDEF$ 为平行四边形；
(2)当 $\angle C = 45^{\circ}$,$BD = 2$ 时,求线段 $DF$ 的长.

答案：
(1)
∵△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,
∴∠ABC=∠C.
∵EG//BC,
∴∠AEG=∠ABC,∠AGE=∠C.
∴∠AEG=∠AGE.
∵BF=BE,
∴∠BFE=∠BEF. 又
∵∠AEG=∠BEF,
∴∠BFE=∠AGF.
∴BF//AC.
∵DE//AC,
∴BF//DE.又
∵EG//BC,
∴四边形 BDEF 为平行四边形.
(2)
∵∠C = 45°,
∴∠ABC=∠C = 45°.
∵EG//BC,
∴∠BEF=∠ABC = 45°.
∴∠BFE=∠BEF = 45°.
∴∠EBF=180° - ∠BFE - ∠BEF = 90°.
∴△BEF 是等腰直角三角形.
∵四边形 BDEF 是平行四边形,
∴BD=EF = 2,OB=OE = 1/2BE,OF=OD = 1/2DF.在Rt△BEF 中,由勾股定理,得BF²+BE²=EF²,
∴BF=BE = √2.
∵OB = 1/2BE,
∴OB = √2/2.在Rt△BFO 中,由勾股定理,得OF = √(BF²+OB²)=√((√2)²+(√2/2)²)=√10/2.
∵OF = 1/2DF,
∴DF=2OF = 2×√10/2 = √10.

23.(8 分)如图,$\triangle ABC$ 的角平分线 $AE$,$BF$ 交于点 $O$.
(1)若 $\angle ACB = 70^{\circ}$,则 $\angle BOA = $ ______；
(2)求证：点 $O$ 在 $\angle ACB$ 的平分线上；
(3)若 $OE = OF$,求 $\angle ACB$ 的度数.

答案：

(1)125°.
(2)如图,过点 O 作OD⊥BC 于点 D,OG⊥AB 于点 G,OH⊥AC 于点 H.又
∵AE 平分∠BAC,BF 平分∠ABC,
∴OG=OH,OG=OD.
∴OD=OH.又
∵OH⊥AC,OD⊥BC,
∴点 O 在∠ACB 的平分线上.
(3)如图,连接 OC.
∵OD⊥BC,OH⊥AC,
∴∠ODE = 90°,∠OHF = 90°.在Rt△OED 和Rt△OFH 中,{OE = OF,OD = OH},
∴Rt△OED≌Rt△OFH.
∴∠EOD=∠FOH.
∴∠EOD+∠DOF=∠FOH+∠DOF,即∠EOF=∠DOH.
∵∠DOH=360° - 90° - 90° - ∠ACB=180° - ∠ACB,
∴∠EOF=180° - ∠ACB.
∵△ABC 的角平分线 AE,BF 交于点 O,
∴∠BAO=1/2∠BAC,∠ABO=1/2∠ABC.
∴∠ABO+∠BAO=1/2(∠ABC+∠BAC)=1/2(180° - ∠ACB).
∴∠AOB=180°-(∠ABO+∠BAO)=90°+1/2∠ACB.
∵∠AOB=∠EOF,
∴90°+1/2∠ACB=180° - ∠ACB.
∴∠ACB = 60°.
　　　　　　

24.(10 分)(呼和浩特中考)今年某公司分两次采购了一批土豆,第一次花费 30 万元,第二次花费 50 万元,已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了 200 元,第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了 200 元,第二次的采购数量是第一次采购数量的 2 倍.
(1)去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉,因设备原因,两种产品不能同时加工,若单独加工成薯片,每天可加工 5 吨土豆,每吨土豆获利 700 元；若单独加工成淀粉,每天可加工 8 吨土豆,每吨土豆获利 400 元. 由于出口需要,所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过 60 天,其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 $\frac{2}{3}$,为获得最大利润,应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？

答案：
(1)设去年每吨土豆的平均价格是 x 元,则今年第一次采购时每吨土豆的平均价格为(x + 200)元,第二次采购时每吨土豆的平均价格为(x - 200)元.由题意,得300000/(x + 200)×2=500000/(x - 200),解得x = 2200.经检验,x = 2200是原分式方程的解,且符合题意.
∴去年每吨土豆的平均价格是2200元.
(2)由
(1),得今年采购的土豆总数量为300000/(2200 + 200)×3=375(吨).设应将 m 吨土豆加工成薯片,则应将(375 - m)吨土豆加工成淀粉.由题意,得{m≥2/3(375 - m),m/5+(375 - m)/8≤60},解得150≤m≤175.设总利润为 y 元,则y = 700m + 400(375 - m)=300m + 150000.
∵300＞0,
∴y 随 m 的增大而增大.
∴当 m = 175 时,y 的值最大,为300×175 + 150000 = 202500.
∴为获得最大利润,应将175吨土豆加工成薯片,最大利润是202500元