《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

12. (西宁中考)如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
(1) 求证：△ABE≌△ADF；
(2) 若AE= 4,CF= 2,求菱形的边长.

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，∠B=∠D.
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠AFD,\\ ∠B=∠D,\\ AB=AD,\end{array}\right.$
∴ △ABE≌△ADF.（2）设菱形的边长为x.
∴ AB=CD=x.
∵ CF=2，
∴ DF=x-2.由（1），得△ABE≌△ADF，
∴ BE=DF=x-2.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AE²+BE²=AB²，即4²+(x-2)²=x²，解得x=5.
∴ 菱形的边长是5.

13. 如图,在□ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE= DF.
(1) 求证：□ABCD是菱形；
(2) 若AB= 5,AC= 6,求□ABCD的面积.

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B=∠D.
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°.在△AEB和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠D,\\ BE=DF,\\ ∠AEB=∠AFD,\end{array}\right.$
∴ △AEB≌△AFD.
∴ AB=AD.
∴ $□ ABCD$是菱形.（2）如图，连接BD交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴ AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD.
∵ AB=5，OA=3，
∴ 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB=$\sqrt{AB^2-OA^2}$=4.
∴ BD=2OB=8.
∴ $S_{□ ABCD}$=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24.

14. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,AB的中点,BD⊥CE于点O,M,N分别是OB,OC的中点. 若OB= 8,OC= 6,则四边形DEMN的周长是 ( )

A.14
B.20
C.22
D.28

答案： B 解析：
∵ D，E分别是边AC，AB的中点，
∴ DE=$\frac{1}{2}$BC，DE//BC.
∵ M，N分别是OB，OC的中点，
∴ MN=$\frac{1}{2}$BC，MN//BC.
∴ DE=MN，DE//MN.
∴ 四边形DEMN为平行四边形.
∵ BD⊥CE，
∴ 四边形DEMN为菱形.
∵ OB=8，OC=6，
∴ BC=$\sqrt{OB^2+OC^2}$=10.
∴ DE=MN=EM=DN=5.
∴ 四边形DEMN的周长是20.

15. 如图,菱形ABCD的边长为2,∠DAB= 60°,E为BC的中点,在对角线AC上存在一点P,使△PBE的周长最小,则△PBE周长的最小值是______.

答案： $\sqrt{3}$+1 解析：如图，连接DE，BD.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 点B，D关于直线AC对称.
∴ 易知DE的长即为PE+PB的最小值.
∵ 四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ CD=CB，∠BCD=60°.
∴ △BCD为等边三角形.
∵ E为BC的中点，
∴ DE⊥BC，BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2=1.
∴ 在Rt△DCE中，由勾股定理，得DE=$\sqrt{CD^2-CE^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$.
∴ △PBE周长的最小值=DE+BE=$\sqrt{3}$+1.

16. (聊城中考)如图,在△ABC中,D是AB上一点,E是AC的中点,过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F,连接AF,CD.
(1) 求证：AD= CF.
(2) 如果D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形? 证明你的结论.

答案： （1）
∵ CF//AB，
∴ ∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA.
∵ E是AC的中点，
∴ AE=CE.
∴ △ADE≌△CFE.
∴ AD=CF.（2）当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形.由（1），知AD=CF.
∵ AD//CF，
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ D是AB的中点，E是AC的中点，
∴ DE//BC.
∵ AC⊥BC，
∴ AC⊥DE，即AC⊥DF.
∴ 四边形ADCF是菱形.