《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

24.(8分)裂项法,这是分解与组合思想在一组数求和中的应用.将这组数中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一部分,最终达到化简求和的目的.例如：
∵$\frac {1}{n(n+1)}= \frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}$,
∴$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+... +\frac {1}{9×10}$
$=(1-\frac {1}{2})+(\frac {1}{2}-\frac {1}{3})+... +(\frac {1}{9}-\frac {1}{10})$
$=1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+... +\frac {1}{9}-\frac {1}{10}$
$=1-\frac {1}{10}$
$=\frac {9}{10}$.
分母为$n(n+1)(n+2)$的分式也能用此方法裂项,即$\frac {1}{n(n+1)(n+2)}= \frac {1}{2}[\frac {1}{n(n+1)}-\frac {1}{(n+1)(n+2)}]$($n$为正整数).
其实,整式也能进行裂项求和,例如：
$1×(1+1)= \frac {1}{3}×(1×2×3-0×1×2)$；
$2×(2+1)= \frac {1}{3}×(2×3×4-1×2×3)$；
$3×(3+1)= \frac {1}{3}×(3×4×5-2×3×4)$；
...
(1)计算：$\frac {1}{1×2×3}+\frac {1}{2×3×4}+... +\frac {1}{5×6×7}= $____；
(2)裂项整式：$n(n+1)= $____；
(3)若$A= 1×2+2×3+... +n(n+1),B= \frac {1}{n}[\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+... +\frac {1}{n(n+1)}],C= \frac {4}{3}n$($n$为正整数),试判断$A\cdot B与C$的大小.

答案：
(1)5/42;
(2)13[n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)];
(3)
∵A=1×2+2×3+…n(n+1)=×(1×2×3-0××)+1/×(2××=1××)+…+1/[n(n+)(n+)n-1)n(n+1)]=1/3n(n+1)(n+2),B=1/n[++…+]=[(1-1/2)+(1/2)+…+(1/n-n+1)]=n(1-n)=n+1,
∴A·B=1n(n+1)(n+2)·1/n+1=1/3n(n+).又
∵C=4/3n,
∴当n=时,A·B＜C;当n=2时,A·B=C;当n≥3时,A·B＞C(n为正整数).